Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre a sua área.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para esboçarmos a região delimitada pelas curvas $ y = x $ e $ y = x^{2} - 2 $ e depois encontrar a área dessa região. A matéria envolvida aqui é Cálculo, mais especificamente, o cálculo de áreas entre curvas. Para isso, vamos precisar descobrir onde essas curvas se interceptam, esboçar o gráfico delas e então calcular a área utilizando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as curvas se cruzam, ou seja, onde $ y = x $ é igual a $ y = x^{2} - 2 $. Vamos igualar as duas equações:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de $ x $ onde as curvas se intersectam. Vamos reorganizar a equação:
Passo 4
Para resolver a equação quadrática $ x^{2} - x - 2 = 0 $, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -1 $ e $ c = -2 $. Substituindo na fórmula:
Então, as soluções são:
Passo 5
Agora que temos os valores de $ x $, podemos encontrar os correspondentes valores de $ y $ substituindo na equação $ y = x $:
Para $ x = 2 $:
Para $ x = -1 $:
Então, os pontos de interseção são $ (2, 2) $ e $ (-1, -1) $.
Passo 6
Vamos esboçar as curvas $ y = x $ e $ y = x^{2} - 2 $:
- $ y = x $ é uma linha reta que passa pela origem com inclinação 1.
- $ y = x^{2} - 2 $ é uma parábola que abre para cima, deslocada 2 unidades para baixo.
Os pontos de interseção $ (-1, -1) $ e $ (2, 2) $ nos ajudam a determinar os limites de integração para encontrar a área entre as curvas.
Passo 7
Para encontrar a área entre as curvas, precisamos integrar a diferença das funções no intervalo de $ x = -1 $ a $ x = 2 $. Mas primeiro, identificamos qual função está acima da outra nesse intervalo.
Vamos comparar os valores de $ y $:
- Em $ x = 0 $: $ y = 0 $ (reta) e $ y = -2 $ (parábola). Aqui, a reta está acima.
- Em $ x = 1 $: $ y = 1 $ (reta) e $ y = -1 $ (parábola). A reta ainda está acima.
Portanto, a reta $ y = x $ está acima da parábola $ y = x^{2} - 2 $ no intervalo de $ -1 $ a $ 2 $.
Passo 8
A fórmula para a área $ A $ entre duas curvas $ y = f(x) $ e $ y = g(x) $, onde $ f(x) \geq g(x) $ no intervalo
, é:
Aqui, $ f(x) = x $ e $ g(x) = x^{2} - 2 $, com $ a = -1 $ e $ b = 2 $.
Passo 9
Vamos montar a integral para a área:
Passo 10
Agora, vamos calcular a integral:
Integrando termo a termo:
Passo 11
Vamos avaliar a expressão nos limites de integração:
Para $ x = 2 $:
Para $ x = -1 $:
Passo 12
Subtraindo os valores:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas $ y = x $ e $ y = x^{2} - 2 $ é $ \frac{9}{2} $ unidades de área.