Encontre o resíduo em z=0 da função
\frac{1}{z+z^{2}} ;

Passo 1

Enunciado: encontrar o resíduo em \,z=0\, da função
\frac{1}{z+z^{2}}.
Informações dadas:
\frac{1}{z+z^{2}}=\frac{1}{z(1+z)}.
Pergunta: qual é o resíduo de \frac{1}{z+z^{2}} em \,z=0\,?

Passo 2

Identificar a singularidade em \,z=0\,.
Decompondo o denominador tenho a fatoração mostrada em Passo 1:
\frac{1}{z+z^{2}}=\frac{1}{z(1+z)}.
O fator \,z\, aparece com potência 1, e o fator (1+z) é não nulo em z=0. Isso indica que em \,z=0\, a função possui um pólo simples (ou seja, singularidade de ordem 1).

Passo 3

Definição e fórmula prática para pólo simples.
O resíduo de uma função meromorfa f(z) em um pólo simples z_{0} é o coeficiente de (z-z_{0})^{-1} na série de Laurent de f em torno de z_{0}. Uma fórmula prática muito útil é:
\operatorname{Res}(f,z_{0})=\lim_{z\to z_{0}}(z-z_{0})\,f(z),
quando z_{0} é pólo simples. Vou usar essa fórmula porque temos um pólo simples em \,z=0\,.

Passo 4

Aplicar a fórmula do limite para calcular o resíduo em \,z=0\,.
Usando z_{0}=0 e f(z)=\dfrac{1}{z(1+z)} obtenho
\operatorname{Res}\biggl(\frac{1}{z+z^{2}},0\biggr)=\lim_{z\to 0} z\cdot\frac{1}{z(1+z)}=\lim_{z\to 0}\frac{1}{1+z}.
Agora avalio o limite:
\lim_{z\to 0}\frac{1}{1+z}=\frac{1}{1+0}.

Passo 5

Resultado do limite e interpretação.
Calculando a expressão do passo anterior tenho
\frac{1}{1+0}=1.
Portanto o valor do resíduo obtido por esse método é 1.

Passo 6

Verificação alternativa por decomposição em frações parciais (útil como técnica de checagem).
Procuro constantes A e B tais que
\frac{1}{z(1+z)}=\frac{A}{z}+\frac{B}{1+z}.
Multiplicando ambos os lados por z(1+z) resulta
1=A(1+z)+Bz.
Tomando z=0 obtemos 1=A. Tomando z=-1 obtemos 1=-B, logo B=-1. A decomposição é
\frac{1}{z(1+z)}=\frac{1}{z}-\frac{1}{1+z}.
O resíduo em z=0 é o coeficiente de \dfrac{1}{z}, que é 1, confirmando o resultado anterior.

Resposta

1

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