Encontre o resíduo em
da função
;
Passo 1
Enunciado: encontrar o resíduo em
da função
Informações dadas:
Pergunta: qual é o resíduo de
em
?
Passo 2
Identificar a singularidade em
.
Decompondo o denominador tenho a fatoração mostrada em Passo 1:
Decompondo o denominador tenho a fatoração mostrada em Passo 1:
O fator
aparece com potência
, e o fator
é não nulo em
. Isso indica que em
a função possui um pólo simples (ou seja, singularidade de ordem 1).
Passo 3
Definição e fórmula prática para pólo simples.
O resíduo de uma função meromorfa em um pólo simples
é o coeficiente de
na série de Laurent de
em torno de
. Uma fórmula prática muito útil é:
O resíduo de uma função meromorfa
quando
é pólo simples. Vou usar essa fórmula porque temos um pólo simples em
.
Passo 4
Aplicar a fórmula do limite para calcular o resíduo em
.
Usando e
obtenho
Usando
Agora avalio o limite:
Passo 5
Resultado do limite e interpretação.
Calculando a expressão do passo anterior tenho
Calculando a expressão do passo anterior tenho
Portanto o valor do resíduo obtido por esse método é
.
Passo 6
Verificação alternativa por decomposição em frações parciais (útil como técnica de checagem).
Procuro constantes e
tais que
Procuro constantes
Multiplicando ambos os lados por
resulta
Tomando
obtemos
. Tomando
obtemos
, logo
. A decomposição é
O resíduo em
é o coeficiente de
, que é
, confirmando o resultado anterior.