Use o teorema do Sanduíche para provar os seguintes limites
lim (x, y) (0,0) x^3 y^2x^2+y^2 0

Passo 1

Resumindo o problema: queremos mostrar que a função f definida por f(x,y)=x^3y^2x^2+y^2 tende a 0 quando (x,y)to(0,0). O tema aqui é limites em várias variáveis e vamos usar o teorema do Sanduíche para isso.

Passo 2

Para aplicar o Sanduíche, primeiro calculamos o valor absoluto de f:
|f(x,y)|= |x^3y^2x^2+y^2| =|x|^3,|y|^2x^2+y^2
Observe que y^2<= x^2+y^2. Logo,
|x|^3,|y|^2x^2+y^2<=|x|^3
Agora note que definindo r=raizx^2+y^2 temos |x|<= r e, portanto,
|x|^3<= r^3
Combinando as desigualdades, obtemos
|f(x,y)|<= r^3
Como r=raizx^2+y^2to0 quando (x,y)to(0,0), segue que r^3to0. Pelo teorema do Sanduíche temos f(x,y)to0.

Resposta

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