Verifique se as funções abaixo são contínuas no ponto (0,0)
f(x, y)= (2^x-1) sin yx y & se x y neq 0 ln 2 & se x y=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar a continuidade de f(x,y) em (0,0), onde
f(x,y)=(2^x-1),sin yx y&se xyneq0,ln2&se xy=0
Para isso, precisamos checar se
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=ln2

Passo 2

Para xyneq0, usamos as expansões de Taylor de primeira ordem:
2^x=e^xln2=1+xln2+o(x),
sin y=y+o(y)
Multiplicando, obtemos
(2^x-1)sin y=(xln2+o(x))(y+o(y))=x yln2+o(|x y|)

Passo 3

Logo, para xyneq0,
(2^x-1)sin yx y =x yln2+o(|x y|)x y =ln2+o(1),
o que mostra que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=ln2

Passo 4

Como o valor de f(0,0) também é ln2, concluímos que o limite coincide com o valor da função no ponto, ou seja, f é contínua em (0,0).

Resposta

A função f é contínua em (0,0).

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