Use o teorema do Sanduíche para provar os seguintes limites
lim (x, y) (0,0) tan (x^2+y^2) arctan (1x^2+y^2) 0

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando (x,y)→(0,0) usando o Teorema do Sanduíche. O conteúdo é limite de funções de várias variáveis e vamos precisar identificar uma estimativa inferior e superior que convirjam ao mesmo valor.

Passo 2

Definimos r² = x² + y², de modo que a função fica f(x,y) = tan(r²) · arctan(1/r²). Note que conforme (x,y)→(0,0), r→0⁺.

Passo 3

Perceba que para r>0 suficientemente pequeno temos tan(r²)>0 e arctan(1/r²)>0. Logo
0 <= tan(r^2),arctanl(tfrac1r^2r)

Passo 4

Além disso, como arctan(z) ≤ π/2 para todo z>0, vem
tan(r^2),arctanl(tfrac1r^2r) <= tan(r^2),pi2

Passo 5

Sabendo que tan(t) → 0 quando t → 0, temos tan(r²) → 0 quando r → 0. Assim o limite do lado direito é
limrto0^+ pi2,tan(r^2) = 0

Passo 6

Pelo Teorema do Sanduíche, f(x,y) fica “espremida” entre 0 e algo que tende a 0, logo
lim(x,y)to(0,0) tan(x^2+y^2),arctanl(tfrac1x^2+y^2r) = 0

Resposta

0

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