Use o teorema do Sanduíche para provar os seguintes limites
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando (x,y)→(0,0) usando o Teorema do Sanduíche. O conteúdo é limite de funções de várias variáveis e vamos precisar identificar uma estimativa inferior e superior que convirjam ao mesmo valor.
Passo 2
Definimos r² = x² + y², de modo que a função fica f(x,y) = tan(r²) · arctan(1/r²). Note que conforme (x,y)→(0,0), r→0⁺.
Passo 3
Perceba que para r>0 suficientemente pequeno temos tan(r²)>0 e arctan(1/r²)>0. Logo
Passo 4
Além disso, como arctan(z) ≤ π/2 para todo z>0, vem
Passo 5
Sabendo que tan(t) → 0 quando t → 0, temos tan(r²) → 0 quando r → 0. Assim o limite do lado direito é
Passo 6
Pelo Teorema do Sanduíche, f(x,y) fica “espremida” entre 0 e algo que tende a 0, logo
Resposta
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