Verifique se as funções abaixo são contínuas no ponto
Passo 1
O enunciado pede pra verificar se a função de duas variáveis
f(x, y)=
é contínua em (0,0). O conteúdo é limite e continuidade de funções de duas variáveis, e vamos usar estimativas para mostrar que o limite quando (x,y)→(0,0) coincide com o valor f(0,0)=0.
f(x, y)=
é contínua em (0,0). O conteúdo é limite e continuidade de funções de duas variáveis, e vamos usar estimativas para mostrar que o limite quando (x,y)→(0,0) coincide com o valor f(0,0)=0.
Passo 2
Primeiro, para (x,y)≠(0,0) note que
pues 3y2≥2y2. Além disso, também vale
basta lembrar que cada termo quadrático é não negativo e que a soma de quadrados é menor que o quadrado da soma.
Passo 3
Com essas duas desigualdades, obtemos
Como
quando (x,y)→(0,0), o lado direito tende a zero.
Passo 4
Portanto o limite de f(x,y) quando (x,y)→(0,0) é 0, e isso coincide com f(0,0). Pelo critério de continuidade, f é contínua em (0,0).
Resposta
A função é contínua no ponto (0,0).