Verifique se as funções abaixo são contínuas no ponto (0,0)
f(x, y)= x^4+y^42 x^2+3 y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede pra verificar se a função de duas variáveis
f(x, y)=
x^4+y^42 x^2+3 y^2 & se (x, y)neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
é contínua em (0,0). O conteúdo é limite e continuidade de funções de duas variáveis, e vamos usar estimativas para mostrar que o limite quando (x,y)→(0,0) coincide com o valor f(0,0)=0.

Passo 2

Primeiro, para (x,y)≠(0,0) note que
2x^2+3y^2>=2(x^2+y^2)
pues 3y2≥2y2. Além disso, também vale
x^4+y^4<=(x^2+y^2)^2
basta lembrar que cada termo quadrático é não negativo e que a soma de quadrados é menor que o quadrado da soma.

Passo 3

Com essas duas desigualdades, obtemos
0<=x^4+y^42x^2+3y^2<=(x^2+y^2)^22(x^2+y^2)=x^2+y^22
Como x^2+y^2to0 quando (x,y)→(0,0), o lado direito tende a zero.

Passo 4

Portanto o limite de f(x,y) quando (x,y)→(0,0) é 0, e isso coincide com f(0,0). Pelo critério de continuidade, f é contínua em (0,0).

Resposta

A função é contínua no ponto (0,0).

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