Use o Teorema de Stokes para calcular integralC F cdot d r. Em cada caso, C é orientado no sentido anti-horário quando visto de cima.
F(x, y, z)=x y i+2 z j+3 y k, onde C é curva da interseção do plano x+y=5 e o cilindro x^2+y^2=9.

Passo 1

O enunciado pede calcular a circulação
integralC Fcdot dr
onde F(x,y,z)=x,y,i+2z,j+3y,k e C é a curva de interseção do plano x+y=5 com o cilindro x^2+y^2=9, orientada anti-horário quando vista de cima. Vamos aplicar o Teorema de Stokes:
integralC Fcdot dr = integralS(nablatimesF)cdotn,dS,
escolhendo S como a parte do plano limitada por C.

Passo 2

Calculamos nablatimesF. Para F=(P,Q,R)=(xy,2z,3y):
nablatimesF =l(tfracpartial Rpartial y-tfracpartial Qpartial z,; tfracpartial Ppartial z-tfracpartial Rpartial x,; tfracpartial Qpartial x-tfracpartial Ppartial yr) =(3-2,;0-0,;0-x) =(1,0,-x)

Passo 3

Escolhemos S como o gráfico
z=5-x-y
sobre o disco D:;x^2+y^2<=9 no plano xy. A parametrização é
r(x,y)=(x,y,5-x-y).
Então
rx=(1,0,-1), ry=(0,1,-1),
rxtimesry =(1,1,1),
que tem componente z>0, garantindo a orientação de C anticiclíca vista de cima.

Passo 4

Pelo Teorema de Stokes,
integralCFcdot dr =integralS(nablatimesF)cdotn,dS =integralD(nablatimesF)l(r(x,y)r)cdotl(rxtimesryr),dA
Substituindo nablatimesF=(1,0,-x) e rxtimesry=(1,1,1), obtemos
(nablatimesF)cdot(rxtimesry) =1cdot1+0cdot1+(-x)cdot1 =1-x
Logo
integralCFcdot dr =integralD(1-x),dA

Passo 5

O domínio D é o disco de raio 3, de modo que
integralD1,dA=picdot3^2=9pi, integralD x,dA=0 (por simetria em x)
Assim
integralCFcdot dr =9pi-0 =9pi

Resposta

9pi

Exercícios relacionados