Seja f:[a, b] R uma função contínua e suponha que f não seja constante em [a, b]. Prove que existem números reais m e M, com m<M, tais que Im f=[m, M].
(Observação: Imagem de f=Im f=f(x) mid x in[a, b].)

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função contínua f:[a,b]toR que não é constante em [a,b]. Queremos mostrar que a imagem de f,
Imf=f(x)mid xin[a,b],
é um intervalo fechado [m,M] com m<M. Para isso usaremos dois resultados clássicos de análise: o Teorema do Valor Extremo e o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 2

Como f é contínua em [a,b], que é um conjunto compacto, o Teorema do Valor Extremo garante que existem pontos xi,etain[a,b] tais que
f(xi)=minxin[a,b]f(x) e f(eta)=maxxin[a,b]f(x)
Definimos então
m = f(xi), M = f(eta)
Como f não é constante, necessariamente m<M.

Passo 3

Mostramos primeiro que Imfsubseteq[m,M]. De fato, para todo xin[a,b] vale
m = min[a,b]f(x);<=; f(x);<=;max[a,b]f(x) = M,
logo f(x)in[m,M] e consequentemente Imfsubseteq[m,M].

Passo 4

Agora provamos [m,M]subseteqImf. Seja y um número qualquer em [m,M]. Então
m = f(xi);<=; y;<=; f(eta) = M
Como f é contínua e y está entre f(xi) e f(eta), o Teorema do Valor Intermediário garante a existência de um ponto cin[xi,eta]subseteq[a,b] tal que f(c)=y. Logo yinImf.

Resposta

Dessa forma encontramos m e M com m<M tais que
Imf = [m,M]

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