Seja
uma função contínua e suponha que
não seja constante em
. Prove que existem números reais
e
, com
, tais que
.
(Observação: Imagem de
.)
(Observação: Imagem de
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função contínua
que não é constante em
. Queremos mostrar que a imagem de
,
,
é um intervalo fechado com
. Para isso usaremos dois resultados clássicos de análise: o Teorema do Valor Extremo e o Teorema do Valor Intermediário.
é um intervalo fechado
Passo 2
Como
é contínua em
, que é um conjunto compacto, o Teorema do Valor Extremo garante que existem pontos
tais que
Definimos então
Como
não é constante, necessariamente
.
Passo 3
Mostramos primeiro que
. De fato, para todo
vale
logo
e consequentemente
.
Passo 4
Agora provamos
. Seja
um número qualquer em
. Então
Como
é contínua e
está entre
e
, o Teorema do Valor Intermediário garante a existência de um ponto
tal que
. Logo
.
Resposta
Dessa forma encontramos
e
com
tais que