Use o Teorema de Stokes para calcular \iint_{S} \operatorname{curl} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}.
\mathbf{F}(x, y, z)=x y \mathbf{i}+2 z \mathbf{j}+3 y \mathbf{k}, C é a curva da interseção do plano x+z=5 e o cilindro x^{2}+y^{2}=9

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{S} (\nabla\times \mathbf F)\cdot d\mathbf S
onde \mathbf F(x,y,z)=x\,y\,\mathbf i+2z\,\mathbf j+3y\,\mathbf k e S é a parte do plano x+z=5 dentro do cilindro x^2+y^2=9. Vamos aplicar o Teorema de Stokes, que transforma essa integral de superfície numa integral de linha ao longo da fronteira C de S.

Passo 2

O Teorema de Stokes afirma que
\iint_{S} (\nabla\times \mathbf F)\cdot d\mathbf S = \oint_{C} \mathbf F\cdot d\mathbf r,
onde C é a curva de borda de S, orientada segundo a regra da mão direita em relação à normal escolhida para S.

Passo 3

A curva C é a interseção do cilindro x^2+y^2=9 com o plano z=5-x. Podemos parametrizá-la por
\mathbf r(t)=\bigl(3\cos t,\;3\sin t,\;5-3\cos t\bigr),\qquad 0\le t\le2\pi.
Essa parametrização percorre C no sentido anti-horário quando vista do ponto em que a normal de S (proporcional a (1,0,1)) aponta.

Passo 4

Calculamos
d\mathbf r=\mathbf r'(t)\,dt =\bigl(-3\sin t,\;3\cos t,\;3\sin t\bigr)\,dt,
e avaliamos \mathbf F em \mathbf r(t):
\mathbf F(\mathbf r(t)) =\bigl(xy,\;2z,\;3y\bigr) =\bigl(9\cos t\sin t,\;2(5-3\cos t),\;9\sin t\bigr).
O produto escalar é
\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot \mathbf r'(t) =-27\cos t\,\sin^2 t +6(5-3\cos t)\cos t +27\sin^2 t.

Passo 5

Agora integramos de 0 a 2\pi. Note que
\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\!\! \sin^2 t\cos t\,dt=0 e
\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\!\! \cos t\,dt=0,
então só sobram os termos em \cos^2 t e \sin^2 t. Usando
\cos^2 t=\tfrac{1+\cos2t}2 e \sin^2 t=\tfrac{1-\cos2t}2, obtemos
\oint_{C}\mathbf F\cdot d\mathbf r =\int_{0}^{2\pi}\bigl(-18\cos^2 t+27\sin^2 t\bigr)\,dt =-18\cdot\pi+27\cdot\pi =9\pi.

Resposta

\iint_{S} (\nabla\times \mathbf F)\cdot d\mathbf S = 9\pi.

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