Use o Teorema de Stokes para calcular
.
é a curva da interseção do plano
e o cilindro
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
e
é a parte do plano
dentro do cilindro
. Vamos aplicar o Teorema de Stokes, que transforma essa integral de superfície numa integral de linha ao longo da fronteira
de
.
Passo 2
O Teorema de Stokes afirma que
onde
é a curva de borda de
, orientada segundo a regra da mão direita em relação à normal escolhida para
.
Passo 3
A curva
é a interseção do cilindro
com o plano
. Podemos parametrizá-la por
Essa parametrização percorre
no sentido anti-horário quando vista do ponto em que a normal de
(proporcional a
) aponta.
Passo 4
Calculamos
e avaliamos
em
:
O produto escalar é
Passo 5
Agora integramos de
a
. Note que
e
,
então só sobram os termos em e
. Usando
e
, obtemos
então só sobram os termos em