Utilize o teste da integral para determinar se as séries converges ou divergem. Certifique-se de que as condições do teste da integral sejam satisfeitas. Justifique sua resposta \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{2}+4}
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{2}+4}
usando o teste da integral. O conteúdo que vamos usar é o teste que diz: se existe uma função contínua, positiva e (eventualmente) decrescente f(x) em [N,\infty) tal que f(n)=a_n, então a série \sum a_n converge se, e somente se, a integral imprópria
\int_{N}^{\infty}f(x)\,dx
converge.
Passo 2
Definimos
f(x)=\frac{x}{x^{2}+4},\quad x\ge1.
Positividade e continuidade: para x\ge1, x>0 e x^{2}+4>0, logo f(x)>0 e f é contínua em [1,\infty).
Assim, para x>2 temos 4-x^{2}<0, ou seja, f'(x)<0. Logo f é decrescente em [2,\infty). Isso basta para aplicar o teste da integral, pois a condição de monotonicidade pode falhar só num número finito de pontos iniciais.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria correspondente (poderíamos usar N=2 ou N=1; a divergência/convergência independe de um número finito de termos iniciais). Faremos de 1 a \infty:
\int_{1}^{\infty}\frac{x}{x^{2}+4}\,dx.
Fazendo a substituição u=x^{2}+4, du=2x\,dx, obtemos