Utilize o teste da integral para determinar se as séries converges ou divergem. Certifique-se de que as condições do teste da integral sejam satisfeitas. Justifique sua resposta
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{2}+4}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{2}+4}
usando o teste da integral. O conteúdo que vamos usar é o teste que diz: se existe uma função contínua, positiva e (eventualmente) decrescente f(x) em [N,\infty) tal que f(n)=a_n, então a série \sum a_n converge se, e somente se, a integral imprópria
\int_{N}^{\infty}f(x)\,dx
converge.

Passo 2

Definimos
f(x)=\frac{x}{x^{2}+4},\quad x\ge1.
  1. Positividade e continuidade: para x\ge1, x>0 e x^{2}+4>0, logo f(x)>0 e f é contínua em [1,\infty).
  2. Monotonicidade eventual:
f'(x) =\frac{(x^{2}+4)\cdot1 - x\cdot2x}{(x^{2}+4)^{2}} =\frac{4 - x^{2}}{(x^{2}+4)^{2}}.
Assim, para x>2 temos 4-x^{2}<0, ou seja, f'(x)<0. Logo f é decrescente em [2,\infty). Isso basta para aplicar o teste da integral, pois a condição de monotonicidade pode falhar só num número finito de pontos iniciais.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria correspondente (poderíamos usar N=2 ou N=1; a divergência/convergência independe de um número finito de termos iniciais). Faremos de 1 a \infty:
\int_{1}^{\infty}\frac{x}{x^{2}+4}\,dx.
Fazendo a substituição u=x^{2}+4, du=2x\,dx, obtemos
\int\frac{x}{x^{2}+4}\,dx =\frac12\int\frac{du}{u} =\frac12\ln\bigl|u\bigr|+C =\frac12\ln\bigl(x^{2}+4\bigr)+C.
Portanto,
\int_{1}^{\infty}\frac{x}{x^{2}+4}\,dx =\lim_{b\to\infty}\frac12\bigl[\ln(b^{2}+4)-\ln(1^{2}+4)\bigr] =\lim_{b\to\infty}\frac12\ln(b^{2}+4)-\frac12\ln5.
Como \ln(b^{2}+4)\to\infty quando b\to\infty, a integral diverge.

Passo 4

Pelo teste da integral, se a integral imprópria diverge então a série também diverge.

Resposta

A série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{2}+4}
diverge.

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