Use o Teorema de Stokes para calcular \iint_{S} \operatorname{curl} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}.
\mathbf{F}(x, y, z)=y z \mathbf{i}+2 x z \mathbf{j}+e^{x y} \mathbf{k}, C é o círculo x^{2}+y^{2}=16, z=5

Passo 1

O enunciado pede
\iint_{S}\curl \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}
onde \mathbf{F}(x,y,z) = y z\,\mathbf{i} + 2 x z\,\mathbf{j} + e^{x y}\,\mathbf{k} e C é o círculo x^2+y^2=16,\;z=5.
O conteúdo é o Teorema de Stokes, que afirma
\iint_{S}\curl \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
Vamos usar essa igualdade e calcular a integral de linha em C.

Passo 2

Escolhemos como superfície S o disco z=5 com interior x^2+y^2\le16. O vetor normal unitário, apontando no sentido positivo de z, é
\mathbf{n} = (0,0,1).
Segundo Stokes, basta computar
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.

Passo 3

Parametrizamos o contorno C por
\mathbf{r}(t) = \bigl(4\cos t,\,4\sin t,\,5\bigr),\quad 0\le t\le2\pi,
que é a orientação anti-horária vista de cima. Então
\mathbf{r}'(t) = \bigl(-4\sin t,\,4\cos t,\,0\bigr).

Passo 4

Avaliamo \,\mathbf{F} em \mathbf{r}(t):
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) = \bigl(y z,\;2 x z,\;e^{x y}\bigr) = \bigl(20\sin t,\;40\cos t,\;e^{16\cos t\sin t}\bigr).
Como dz=0 ao longo de C, o termo em k não contribui. Logo,
\mathbf{F}\cdot \mathbf{r}' = 20\sin t\cdot(-4\sin t)\;+\;40\cos t\cdot(4\cos t) = -80\sin^2 t +160\cos^2 t.

Passo 5

Agora integramos de 0 a 2\pi:
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_{0}^{2\pi}\bigl(-80\sin^2 t +160\cos^2 t\bigr)\,dt = \int_{0}^{2\pi}\bigl(240\cos^2 t -80\bigr)\,dt.
Como \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos^2 t\,dt=\pi e \displaystyle\int_{0}^{2\pi}dt=2\pi, temos
240\pi \;-\;80\cdot2\pi \;=\;240\pi -160\pi \;=\;80\pi.

Resposta

80\pi

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