Use o teorema de Stokes para calcular
, onde
Exercício 68.
e
é a curva obtida como interseção do plano
com o cilindro
,
orientada no sentido anti-horário quando projetada sobre o plano
.
Exercício 68.
orientada no sentido anti-horário quando projetada sobre o plano
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a integral de linha
onde a força (campo vetorial) é
e
é a curva de interseção entre o plano
e o cilindro
. A curva
é orientada no sentido anti-horário quando projetada sobre o plano
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- •O cilindro tem equação
. (Podemos completar quadrados para ver melhor a projeção.) - •O plano que corta o cilindro é
. - •A orientação de
é a orientação anti-horária quando projetada no plano .
Observação: não se pede parametrizar
explicitamente — podemos usar teoremas (como Stokes) se for conveniente.
Passo 2
Enunciando o Teorema de Stokes de forma prática (aula rapidinha): se
é uma superfície orientada com fronteira
e
é um campo vetorial suficientemente suave, então
onde
é o rotor (curl) de
, e
é o vetor normal unitário à superfície
orientado de modo consistente com a orientação de
(regra da mão direita). Em palavras: integral de linha ao redor de
= integral do rotor sobre qualquer superfície
que tenha
como borda.
Por que usar Stokes aqui? Porque
é curva fechada e simples (fronteira de uma região plana dentro do plano
); é geralmente muito mais simples calcular o rotor de
e integrar sobre a superfície do que parametrizar e integrar ao longo de
diretamente. Vou mostrar isso passo a passo.
Passo 3
Calcular o rotor (curl) de
. Lembre-se da definição:
onde
. Para nosso
temos
.
Calcule cada componente:
Portanto
Comentário didático: quando o rotor é o vetor nulo em toda a região, o campo é irrotacional; em regiões simplesmente conexas isso também quer dizer que o campo é conservativo e toda integral de linha fechada será zero. Aqui o rotor sendo identicamente zero já nos dá uma grande pista.]
Passo 4
Escolher a superfície
cuja fronteira seja
. Uma escolha natural é tomar
como a parte do plano
limitada pela curva de interseção com o cilindro — isto é, a região plana dentro desse círculo, vista no plano
.
É conveniente entender a projeção no plano
: o cilindro tem equação
Completo o quadrado em
:
ou seja, na projeção no plano
temos um círculo de raio
centralizado em
. A interseção do cilindro com o plano
projeta exatamente para esse círculo no plano
. Logo a fronteira
é uma curva fechada equivalente a esse círculo, mas posicionada no plano
.
Passo 5
Verificação da orientação: o enunciado diz que
é orientada anti-horário quando projetada no plano
. Ao aplicar Stokes devemos escolher a orientação do vetor normal
em
que seja compatível com essa orientação de
pela regra da mão direita. No entanto, como vamos ver, isso não altera o valor da integral porque o integrando será nulo.
Nota prática: não precisamos computar explicitamente o
nem parametrizar
quando o rotor é zero, pois o integrando
será zero ponto a ponto.
Passo 6
Aplicar Stokes com o rotor calculado: pela fórmula
Mas
, logo o integrando é zero em toda a superfície
. Assim
Portanto
Didaticamente: isto é muito comum — se o rotor é zero em uma região que contém a superfície, qualquer integral de linha fechada ao redor de uma curva contida nessa região será zero. Uma outra maneira de ver (curta) é mostrar que
é gradiente de alguma função potencial e concluir que a integral ao longo de curva fechada é nula.
Passo 7
(Método alternativo — curta demonstração de que
tem potencial) Podemos procurar
tal que
. Se
, integrando em
obtemos
Derivando em
e igualando a
ou
obtemos
. Assim uma potencial é
Como
, sobre qualquer curva fechada a integral de
vale zero (diferença do potencial nos extremos é zero). Isso confirma o resultado anterior.
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