Use o teorema de Stokes para calcular \int_{C} F d r, onde
Exercício 68. F(x, y, z)=(y+z, z+ x, x+y) e C é a curva obtida como interseção do plano y=z com o cilindro x^{2}+y^{2}=2 y,
orientada no sentido anti-horário quando projetada sobre o plano x y.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral de linha \displaystyle \int_{C} F\cdot d r onde a força (campo vetorial) é
F(x,y,z) = (y+z,\; z+x,\; x+y)
e C é a curva de interseção entre o plano y=z e o cilindro x^{2}+y^{2}=2y. A curva C é orientada no sentido anti-horário quando projetada sobre o plano xy.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O cilindro tem equação x^{2}+y^{2}=2y. (Podemos completar quadrados para ver melhor a projeção.)
  • O plano que corta o cilindro é y=z.
  • A orientação de C é a orientação anti-horária quando projetada no plano xy.
]
Observação: não se pede parametrizar C explicitamente — podemos usar teoremas (como Stokes) se for conveniente.

Passo 2

Enunciando o Teorema de Stokes de forma prática (aula rapidinha): se S é uma superfície orientada com fronteira \partial S=C e F é um campo vetorial suficientemente suave, então
\int_{C} F\cdot d r \;=\; \iint_{S} (\nabla\times F)\cdot n\, dS,
onde \nabla\times F é o rotor (curl) de F, e n é o vetor normal unitário à superfície S orientado de modo consistente com a orientação de C (regra da mão direita). Em palavras: integral de linha ao redor de C = integral do rotor sobre qualquer superfície S que tenha C como borda.
Por que usar Stokes aqui? Porque C é curva fechada e simples (fronteira de uma região plana dentro do plano y=z); é geralmente muito mais simples calcular o rotor de F e integrar sobre a superfície do que parametrizar e integrar ao longo de C diretamente. Vou mostrar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular o rotor (curl) de F. Lembre-se da definição:
\nabla\times F = \left(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\; \frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\; \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right),
onde F=(F_1,F_2,F_3). Para nosso F temos F_1=y+z,\; F_2=z+x,\; F_3=x+y.
Calcule cada componente:
\begin{aligned} \text{1ª componente: } & \frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z} = \frac{\partial (x+y)}{\partial y} - \frac{\partial (z+x)}{\partial z} = 1 - 1 = 0,\\[6pt] \text{2ª componente: } & \frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x} = \frac{\partial (y+z)}{\partial z} - \frac{\partial (x+y)}{\partial x} = 1 - 1 = 0,\\[6pt] \text{3ª componente: } & \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y} = \frac{\partial (z+x)}{\partial x} - \frac{\partial (y+z)}{\partial y} = 1 - 1 = 0. \end{aligned}ªªª
Portanto
\nabla\times F = (0,0,0).
Comentário didático: quando o rotor é o vetor nulo em toda a região, o campo é irrotacional; em regiões simplesmente conexas isso também quer dizer que o campo é conservativo e toda integral de linha fechada será zero. Aqui o rotor sendo identicamente zero já nos dá uma grande pista.]

Passo 4

Escolher a superfície S cuja fronteira seja C. Uma escolha natural é tomar S como a parte do plano y=z limitada pela curva de interseção com o cilindro — isto é, a região plana dentro desse círculo, vista no plano y=z.
É conveniente entender a projeção no plano xy: o cilindro tem equação
x^{2}+y^{2}=2y.
Completo o quadrado em y:
x^{2}+(y-1)^{2}=1,
ou seja, na projeção no plano xy temos um círculo de raio 1 centralizado em (0,1). A interseção do cilindro com o plano y=z projeta exatamente para esse círculo no plano xy. Logo a fronteira C é uma curva fechada equivalente a esse círculo, mas posicionada no plano y=z.

Passo 5

Verificação da orientação: o enunciado diz que C é orientada anti-horário quando projetada no plano xy. Ao aplicar Stokes devemos escolher a orientação do vetor normal n em S que seja compatível com essa orientação de C pela regra da mão direita. No entanto, como vamos ver, isso não altera o valor da integral porque o integrando será nulo.
Nota prática: não precisamos computar explicitamente o n nem parametrizar S quando o rotor é zero, pois o integrando (\nabla\times F)\cdot n será zero ponto a ponto.

Passo 6

Aplicar Stokes com o rotor calculado: pela fórmula
\int_{C} F\cdot d r \;=\; \iint_{S} (\nabla\times F)\cdot n\, dS.
Mas \nabla\times F\equiv(0,0,0), logo o integrando é zero em toda a superfície S. Assim
\iint_{S} (\nabla\times F)\cdot n\, dS = \iint_{S} 0\, dS = 0.
Portanto
\int_{C} F\cdot d r = 0.
Didaticamente: isto é muito comum — se o rotor é zero em uma região que contém a superfície, qualquer integral de linha fechada ao redor de uma curva contida nessa região será zero. Uma outra maneira de ver (curta) é mostrar que F é gradiente de alguma função potencial e concluir que a integral ao longo de curva fechada é nula.

Passo 7

(Método alternativo — curta demonstração de que F tem potencial) Podemos procurar \varphi tal que \nabla \varphi = F. Se \partial\varphi/\partial x = y+z, integrando em x obtemos
\varphi(x,y,z)=x(y+z)+g(y,z).
Derivando em y e igualando a F_2 ou F_3 obtemos g(y,z)=yz + \text{const}. Assim uma potencial é
\varphi(x,y,z)=xy + xz + yz.
Como F=\nabla\varphi, sobre qualquer curva fechada a integral de F\cdot dr vale zero (diferença do potencial nos extremos é zero). Isso confirma o resultado anterior.

Resposta

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