Use o Teorema de Stokes para calcular integral duplaS Rot(F) d S
F(x, y, z)=(z e^y, x cos (y), x z sen(y)), S é o hemisfério x^2+y^2+z^2=16, y >= 0 orientado na direção positiva de y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral duplaS Rot(vec F),dS usando o Teorema de Stokes, onde vec F(x,y,z)=(ze^y,,xcos y,,xz,sin y) e S é o hemisfério x^2+y^2+z^2=16, y>=0, orientado na direção positiva do eixo y. Vamos usar o fato de que, por Stokes,

Passo 2

Aplicamos o Teorema de Stokes que diz
integral duplaS (nablatimesvec F)cdotvec n,dS = ointpartial S vec Fcdot dvec r

Passo 3

O contorno partial S é a curva de interseção de y=0 com a esfera de raio 4, ou seja, o círculo
x^2+z^2=16, y=0

Passo 4

Precisamos orientar partial S de modo que, visto do lado para onde aponta a normal de S, o sentido seja anti-horário. Aqui a normal de S aponta para +y, então, visto de y>0, a curva deve ser parametrizada de forma anti-horária. Uma parametrização conveniente é
vec r(t) = (4cos t,,0,,4sin t), tin[0,2pi]

Passo 5

Nessa curva temos
vec F(vec r(t)) = (z,,x,,0) = (4sin t,,4cos t,,0),
e
dvec r = (-4sin t,,0,,4cos t),dt

Passo 6

O produto escalar fica
vec F(vec r(t))cdot dvec r = (4sin t)(-4sin t) + (4cos t)cdot0 + 0cdot(4cos t) = -16sin^2 t,dt

Passo 7

Portanto o integral de linha é
ointpartial S vec Fcdot dvec r = integral0^2pi -16sin^2 t,dt = -16integral0^2pisin^2 t,dt = -16pi

Passo 8

Pelo Teorema de Stokes, esse resultado é exatamente o valor de integral duplaS Rot(vec F),dS.

Resposta

-16\pi

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