Use o Teorema de Stokes para calcular
é o hemisfério
orientado na direção positiva de
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando o Teorema de Stokes, onde
e
é o hemisfério
, orientado na direção positiva do eixo
. Vamos usar o fato de que, por Stokes,
Passo 2
Aplicamos o Teorema de Stokes que diz
Passo 3
O contorno
é a curva de interseção de
com a esfera de raio 4, ou seja, o círculo
Passo 4
Precisamos orientar
de modo que, visto do lado para onde aponta a normal de
, o sentido seja anti-horário. Aqui a normal de
aponta para
, então, visto de
, a curva deve ser parametrizada de forma anti-horária. Uma parametrização conveniente é
Passo 5
Nessa curva temos
e
Passo 6
O produto escalar fica
Passo 7
Portanto o integral de linha é
Passo 8
Pelo Teorema de Stokes, esse resultado é exatamente o valor de
.
Resposta
-16\pi