Use o Teorema de Stokes para calcular integral duplaS rot F d S.
F(x y, z)=y^2 z i+x z j+x^2 y^2 k,
S é a parte do paraboloide z=x^2+y^2 que está dentro do cilindro x^2+y^2=1, orientada ascendentemente

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver um exercício usando o Teorema de Stokes. O enunciado pede para calcular a integral de superfície integral duplaS rot F , dS, onde F(x, y, z) = y^2 z i + x z j + x^2 y^2 k. A superfície S é a parte do paraboloide z = x^2 + y^2 que está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 1, orientada para cima. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes e como aplicá-lo para transformar essa integral de superfície em uma integral de linha mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele relaciona uma integral de superfície da rotação (ou rotacional) de um campo vetorial F com uma integral de linha do campo F ao longo da borda da superfície S. A fórmula do Teorema de Stokes é:
integral duplaS rot F , dS = ointpartial S F , dr
Isso significa que, em vez de calcular a integral de superfície, podemos calcular a integral de linha ao redor da borda de S.

Passo 3

Agora, vamos identificar a borda da superfície S, que é a curva onde o paraboloide z = x^2 + y^2 intersecta o cilindro x^2 + y^2 = 1. Substituindo x^2 + y^2 = 1 na equação do paraboloide, temos:
z = 1
Então, a borda partial S é o círculo x^2 + y^2 = 1 no plano z = 1.

Passo 4

Vamos parametrize essa curva. Uma boa maneira de parametrizar um círculo é usando coordenadas polares. Assim, podemos escrever:
x = cos theta y = sin theta z = 1
Onde theta varia de 0 a 2pi. O vetor posição r(theta) fica:
r(theta) = cos theta , i + sin theta , j + 1 , k

Passo 5

Agora, precisamos calcular dr. Isso é a derivada de r(theta) em relação a theta multiplicada por dtheta:
drdtheta = -sin theta , i + cos theta , j + 0 , k dr = (-sin theta , i + cos theta , j) , dtheta

Passo 6

Vamos agora substituir os valores de x, y e z na função F:
F(cos theta, sin theta, 1) = (sin^2 theta cdot 1) i + (cos theta cdot 1) j + (cos^2 theta cdot sin^2 theta) k
Simplificando:
F = sin^2 theta , i + cos theta , j + cos^2 theta sin^2 theta , k

Passo 7

Agora, vamos calcular o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = (sin^2 theta)(-sin theta) + (cos theta)(cos theta) + (cos^2 theta sin^2 theta)(0) = -sin^3 theta + cos^2 theta

Passo 8

Finalmente, vamos integrar isso de theta = 0 a theta = 2pi:
ointpartial S F cdot dr = integral0^2pi (-sin^3 theta + cos^2 theta) , dtheta
Vamos resolver cada parte da integral separadamente.
Para integral0^2pi -sin^3 theta , dtheta:
Sabemos que a integral de sin^n theta de 0 a 2pi é zero quando n é ímpar.
Para integral0^2pi cos^2 theta , dtheta:
Usamos a identidade cos^2 theta = 1 + cos 2theta2:
integral0^2pi 1 + cos 2theta2 , dtheta = 12 [ integral0^2pi 1 , dtheta + integral0^2pi cos 2theta , dtheta ] = 12 [ 2pi + 0 ] = pi
Então, a integral total é:
0 + pi = pi

Resposta

A integral integral duplaS rot F , dS vale pi.

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