Use o Teorema de Stokes para calcular
.
,
é a parte do paraboloide
que está dentro do cilindro
, orientada ascendentemente
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver um exercício usando o Teorema de Stokes. O enunciado pede para calcular a integral de superfície
, onde
. A superfície
é a parte do paraboloide
que está dentro do cilindro
, orientada para cima. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes e como aplicá-lo para transformar essa integral de superfície em uma integral de linha mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele relaciona uma integral de superfície da rotação (ou rotacional) de um campo vetorial
com uma integral de linha do campo
ao longo da borda da superfície
. A fórmula do Teorema de Stokes é:
Isso significa que, em vez de calcular a integral de superfície, podemos calcular a integral de linha ao redor da borda de
.
Passo 3
Agora, vamos identificar a borda da superfície
, que é a curva onde o paraboloide
intersecta o cilindro
. Substituindo
na equação do paraboloide, temos:
Então, a borda
é o círculo
no plano
.
Passo 4
Vamos parametrize essa curva. Uma boa maneira de parametrizar um círculo é usando coordenadas polares. Assim, podemos escrever:
Onde
varia de
a
. O vetor posição
fica:
Passo 5
Agora, precisamos calcular
. Isso é a derivada de
em relação a
multiplicada por
:
Passo 6
Vamos agora substituir os valores de
,
e
na função
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Passo 8
Finalmente, vamos integrar isso de
a
:
Vamos resolver cada parte da integral separadamente.
Para
:
Sabemos que a integral de de
a
é zero quando
é ímpar.
Sabemos que a integral de
Para
:
Usamos a identidade :
Usamos a identidade
Então, a integral total é:
Resposta
A integral
vale
.