Use o Teorema de Stokes para calcular a integral \iint_{S} \operatorname{rot} \vec{F} \cdot d S
\vec{F}(x, y, z)=2 y \overrightarrow{\mathbf{i}}+(z-2 x) \overrightarrow{\mathbf{j}}+z \overrightarrow{\mathbf{k}}, S é a parte do paraboloide z=16-x^{2}-y^{2}, z \geq 0, com normal exterior.

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral de superfície
\iint_{S} \operatorname{rot}\vec{F}\cdot d\vec S
para o campo
\vec{F}(x,y,z)=2y\,\mathbf{i}+(z-2x)\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k},
onde S é a parte do paraboloide \;z=16-x^{2}-y^{2}\; com \;z\ge 0, e o enunciado informa que a normal é a “normal exterior”. Informações relevantes dadas:
\begin{aligned} &S:\;z=16-x^{2}-y^{2},\quad z\ge 0,\\\ &\text{borda } \partial S:\; \text{interseção com } z=0\Rightarrow x^{2}+y^{2}=16\\ (\text{círculo de raio }4). \end{aligned}çãí
Não se resolve nada ainda; apenas identifiquei o pedido e os dados.

Passo 2

Enunciado do Teorema de Stokes (o que vamos usar) e orientação: o Teorema de Stokes diz que, para uma superfície orientada S com bordo \partial S,
\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot d\vec S=\oint_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec r.
Aqui \nabla\times\vec{F} é o rotacional (curl) de \vec{F}, d\vec S=\vec n\,dS é o elemento de superfície com a normal unitária \vec n, e d\vec r é o elemento de arco na curva \partial S. A orientação do contorno \partial S deve ser escolhida segundo a regra da mão direita: se o polegar aponta na direção da normal escolhida da superfície, os dedos enrolam na direção positiva de \partial S.
Interpretação de “normal exterior”: a superfície S é o topo do sólido limitado por z=0 e pelo paraboloide; a normal exterior (para o sólido) aponta para fora do sólido. No caso do paraboloide z=16-x^{2}-y^{2} com o sólido abaixo dele (0 ≤ z ≤ paraboloide), a normal exterior tem componente z positiva (aponta para cima). Portanto a orientação positiva da curva \partial S é o sentido anti-horário visto de cima (vista pela direção positiva de z). Então, aplicaremos Stokes transformando a integral de superfície na integral de linha ao longo do círculo x^{2}+y^{2}=16,\;z=0 percorrido no sentido anti-horário.

Passo 3

Determinar e parametrizar a curva \partial S.
A curva é o círculo de raio 4 no plano z=0. Parametrização conveniente, percorrida no sentido anti-horário (aumentando o parâmetro), é
\vec r(t)=\bigl(4\cos t,\;4\sin t,\;0\bigr),\qquad 0\le t\le 2\pi.
Aqui t é o parâmetro que representa o ângulo polar; quando t aumenta, a curva é percorrida no sentido anti-horário visto de cima, que é a orientação correta para a normal com componente z positiva.

Passo 4

Avaliar \vec{F} ao longo da curva parametrizada e calcular \vec r\,'(t).
Substituindo x=4\cos t,\;y=4\sin t,\;z=0 em \vec F,
\vec F(\vec r(t))=2y\,\mathbf{i}+(z-2x)\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k} =2(4\sin t)\,\mathbf{i}+\bigl(0-2(4\cos t)\bigr)\,\mathbf{j}+0\,\mathbf{k},
portanto
\vec F(\vec r(t))=8\sin t\,\mathbf{i}-8\cos t\,\mathbf{j}.
Derivando a parametrização,
\vec r\,'(t)=\bigl(-4\sin t,\;4\cos t,\;0\bigr).

Passo 5

Calcular o produto escalar \vec F(\vec r(t))\cdot\vec r\,'(t) e integrar.
O produto escalar é
\begin{aligned} \vec F(\vec r(t))\cdot\vec r\,'(t) &=(8\sin t)(-4\sin t)+(-8\cos t)(4\cos t)\\[4pt] &=-32\sin^{2}t-32\cos^{2}t\\[4pt] &=-32\bigl(\sin^{2}t+\cos^{2}t\bigr)\\[4pt] &=-32, \end{aligned}
ou seja, é constante igual a -32 para todo t.
Agora aplicamos Stokes: a integral de superfície é igual à integral de linha
\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot d\vec S=\oint_{\partial S}\vec F\cdot d\vec r =\int_{0}^{2\pi}\bigl(\vec F(\vec r(t))\cdot\vec r\,'(t)\bigr)\,dt =\int_{0}^{2\pi}(-32)\,dt.]

Passo 6

Efetuar a integração final.
\int_{0}^{2\pi}(-32)\,dt=-32\bigl[ t\bigr]_{0}^{2\pi}=-32\cdot 2\pi=-64\pi.
Portanto o valor da integral pedida é -64\pi.

Resposta

-64\pi

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