Use o Teorema de Stokes para calcular a integral
é a parte do paraboloide
, com normal exterior.
Passo 1
O que o problema pede: calcular a integral de superfície
para o campo
onde
é a parte do paraboloide
com
, e o enunciado informa que a normal é a “normal exterior”. Informações relevantes dadas:
Não se resolve nada ainda; apenas identifiquei o pedido e os dados.
Passo 2
Enunciado do Teorema de Stokes (o que vamos usar) e orientação: o Teorema de Stokes diz que, para uma superfície orientada
com bordo
,
Aqui
é o rotacional (curl) de
,
é o elemento de superfície com a normal unitária
, e
é o elemento de arco na curva
. A orientação do contorno
deve ser escolhida segundo a regra da mão direita: se o polegar aponta na direção da normal escolhida da superfície, os dedos enrolam na direção positiva de
.
Interpretação de “normal exterior”: a superfície
é o topo do sólido limitado por
e pelo paraboloide; a normal exterior (para o sólido) aponta para fora do sólido. No caso do paraboloide
com o sólido abaixo dele (0 ≤ z ≤ paraboloide), a normal exterior tem componente
positiva (aponta para cima). Portanto a orientação positiva da curva
é o sentido anti-horário visto de cima (vista pela direção positiva de
). Então, aplicaremos Stokes transformando a integral de superfície na integral de linha ao longo do círculo
percorrido no sentido anti-horário.
Passo 3
Determinar e parametrizar a curva
.
A curva é o círculo de raio
no plano
. Parametrização conveniente, percorrida no sentido anti-horário (aumentando o parâmetro), é
Aqui
é o parâmetro que representa o ângulo polar; quando
aumenta, a curva é percorrida no sentido anti-horário visto de cima, que é a orientação correta para a normal com componente
positiva.
Passo 4
Avaliar
ao longo da curva parametrizada e calcular
.
Substituindo
em
,
portanto
Derivando a parametrização,
Passo 5
Calcular o produto escalar
e integrar.
O produto escalar é
ou seja, é constante igual a
para todo
.
Agora aplicamos Stokes: a integral de superfície é igual à integral de linha
Passo 6
Efetuar a integração final.
Portanto o valor da integral pedida é
.