As raízes de uma equação homogênea com coeficientes constantes são
m=1,1,1,1,1,2,3,3, i,-i
Escreva a solução geral.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma equação homogênea com coeficientes constantes e nos fornece suas raízes: $ m = 1,1,1,1,1,2,3,3,i,-i $. O conteúdo que vamos precisar aqui é a teoria das equações diferenciais lineares de ordem superior com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos usar o conceito de solução geral baseada nas raízes da equação característica.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar todas as raízes e suas multiplicidades. Olhando para as raízes fornecidas:
  • $ m = 1 $ aparece 5 vezes (multiplicidade 5)
  • $ m = 2 $ aparece 1 vez (multiplicidade 1)
  • $ m = 3 $ aparece 2 vezes (multiplicidade 2)
  • $ m = i $ e $ m = -i $ são raízes complexas conjugadas (multiplicidade 1 cada)

Passo 3

Agora, vamos lembrar que para cada raiz real de multiplicidade $ k $, a solução geral inclui termos da forma:
k
Onde $ m $ é a raiz e $ C_1, C_2, \dots, C_k $ são constantes.

Passo 4

Aplicando isso às raízes reais:
  • Para $ m = 1 $ com multiplicidade 5:
m = 1
  • Para $ m = 2 $ com multiplicidade 1:
(C1 + C2 t + C3 t^2 + C4 t^3 + C5 t^4) e^t
  • Para $ m = 3 $ com multiplicidade 2:
m = 2

Passo 5

Agora, para as raízes complexas $ m = i $ e $ m = -i $, lembramos que quando temos raízes da forma $ \alpha \pm \beta i $, a solução geral inclui termos da forma:
m = i
No nosso caso, $ \alpha = 0 $ e $ \beta = 1 $, então a solução fica:
m = -i

Passo 6

Finalmente, juntando todas as partes, a solução geral da equação diferencial é a soma de todas essas soluções:
y(t) = & (C1 + C2 t + C3 t^2 + C4 t^3 + C5 t^4) e^t & + C6 e^2t & + (C7 + C8 t) e^3t & + C9 cos(t) + C10 sin(t)

Resposta

A solução geral da equação é
y(t) = & (C1 + C2 t + C3 t^2 + C4 t^3 + C5 t^4) e^t & + C6 e^2t & + (C7 + C8 t) e^3t & + C9 cos(t) + C10 sin(t)
Onde $ C_1, C_2, \dots, C_{10} $ são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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