As raízes de uma equação homogênea com coeficientes constantes são
Escreva a solução geral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma equação homogênea com coeficientes constantes e nos fornece suas raízes: $ m = 1,1,1,1,1,2,3,3,i,-i $. O conteúdo que vamos precisar aqui é a teoria das equações diferenciais lineares de ordem superior com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos usar o conceito de solução geral baseada nas raízes da equação característica.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar todas as raízes e suas multiplicidades. Olhando para as raízes fornecidas:
- $ m = 1 $ aparece 5 vezes (multiplicidade 5)
- $ m = 2 $ aparece 1 vez (multiplicidade 1)
- $ m = 3 $ aparece 2 vezes (multiplicidade 2)
- $ m = i $ e $ m = -i $ são raízes complexas conjugadas (multiplicidade 1 cada)
Passo 3
Agora, vamos lembrar que para cada raiz real de multiplicidade $ k $, a solução geral inclui termos da forma:
Onde $ m $ é a raiz e $ C_1, C_2, \dots, C_k $ são constantes.
Passo 4
Aplicando isso às raízes reais:
- Para $ m = 1 $ com multiplicidade 5:
- Para $ m = 2 $ com multiplicidade 1:
- Para $ m = 3 $ com multiplicidade 2:
Passo 5
Agora, para as raízes complexas $ m = i $ e $ m = -i $, lembramos que quando temos raízes da forma $ \alpha \pm \beta i $, a solução geral inclui termos da forma:
No nosso caso, $ \alpha = 0 $ e $ \beta = 1 $, então a solução fica:
Passo 6
Finalmente, juntando todas as partes, a solução geral da equação diferencial é a soma de todas essas soluções:
Resposta
A solução geral da equação é
Onde $ C_1, C_2, \dots, C_{10} $ são constantes determinadas pelas condições iniciais.