Use o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha
ointC(2 x y z-2 y) d x+(x^2 z+2 x) d y+(x^2 y+2 y) d z
onde C é a circunferência dada por y^2+z^2=1, x=2, orientanda no sentido positivo.

Passo 1

A questão pede para usar o Teorema de Stokes para avaliar a integral de linha
ointC(2 x y z-2 y),d x+l(x^2 z+2 xr),d y+l(x^2 y+2 yr),d z
sobre a curva C: x=2, y^2+z^2=1, orientada positivamente. O conteúdo é o Teorema de Stokes, que converte uma integral de linha num integral de superfície de nablatimes F. Vamos precisar do campo vetor
F(x,y,z)=l(2xyz-2y,;x^2z+2x,;x^2y+2yr)
do qual calcularemos o rotacional e, depois, integraremos sobre o disco x=2,;y^2+z^2<=1.

Passo 2

Para calcular o rotacional de F=(P,Q,R) usamos
nablatimes F=l(partial Rpartial y-partial Qpartial z,;partial Ppartial z-partial Rpartial x,;partial Qpartial x-partial Ppartial yr)
Logo,

Passo 3

em bloco 1

Passo 4

Ry=partialpartial y(x^2y+2y)=x^2+2, Qz=partialpartial z(x^2z+2x)=x^2,

Passo 5

em bloco 2

Passo 6

Pz=partialpartial z(2xyz-2y)=2xy, Rx=partialpartial x(x^2y+2y)=2xy,

Passo 7

em bloco 3

Passo 8

Qx=partialpartial x(x^2z+2x)=2xz+2, Py=partialpartial y(2xyz-2y)=2xz-2

Passo 9

Então
nablatimes F=(,(x^2+2)-x^2,;2xy-2xy,;(2xz+2)-(2xz-2),)=(2,0,4)

Passo 10

Escolhemos como superfície S o disco x=2,;y^2+z^2<=1. Para que a orientação de C seja positiva (sentido anti-horário visto de quem olha de +x), adotamos o vetor normal
n=(1,0,0)
Pelo Teorema de Stokes:
ointCFcdot d r=integral duplaS(nablatimes F)cdotn,dS

Passo 11

Agora calculamos
(nablatimes F)cdotn=(2,0,4)cdot(1,0,0)=2
Como dS no plano x=2 coincide com o elemento de área dA no disco y^2+z^2<=1, temos
integral duplaS2,dS=2integral duplaDdA=2cdot(picdot1^2)=2pi

Resposta

2\pi

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