Considere o campo F =(e^2, 2 yz, xe^2+y^2)
Se F for conservativo, calcule f(x, y, z) tal que nabla f=F.

Passo 1

Temos o campo vetorial F=(e^2,,2yz,,xe^2+y^2). Queremos saber se ele é conservativo e, em caso positivo, encontrar uma potencial f(x,y,z) tal que nabla f=F. O conteúdo aqui é teoria de campos conservativos e cálculo de rotacional.

Passo 2

Para verificar se F é conservativo em um domínio simplesmente conexo, calculamos o rotacional nablatimes F. Se nablatimes F=0, o campo é conservativo.

Passo 3

Usamos a definição do rotacional em coordenadas cartesianas:
nablatimes F=l(partial F3partial y-partial F2partial z,;partial F1partial z-partial F3partial x,;partial F2partial x-partial F1partial yr)
Calculamos cada termo:
partial F3partial y=2y
partial F2partial z=2y
Logo, primeira componente: 2y-2y=0.
partial F1partial z=0
partial F3partial x=e^2
Segunda componente: 0-e^2=-e^2neq0.
Terceira componente: partial F2partial x=0 e partial F1partial y=0, então é zero.

Passo 4

Como o rotacional não é nulo (temos nablatimes F=(0,-e^2,0)), concluímos que F não é um campo conservativo e, portanto, não existe função potencial f(x,y,z).

Resposta

O campo não é conservativo, pois seu rotacional é diferente de zero, logo não existe função potencial f.

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