Use o Teorema de Stokes para calcular integralC F bul<=t d r.
F é dado por F(x, y, z)=x^2 z i+x y^2 j+z^2 k ; C é a interseção do plano que contém (13, 13, 13), paralelo aos vetores (-3,1,2) e (1,-5,4), com o cilindro circular reto x^2+y^2=9, com orientação no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integralC vec Fcdot dvec r usando o Teorema de Stokes. Aqui vec F(x,y,z)=x^2z,vec i+xy^2,vec j+z^2,vec k e C é a curva de interseção do cilindro x^2+y^2=9 com o plano que passa por (tfrac13,tfrac13,tfrac13) e é paralelo aos vetores (-3,1,2) e (1,-5,4). Vamos precisar do rotor de vec F, da equação do plano e de projetar a superfície no plano xy.

Passo 2

Calculamos o rotor de vec F. Seja vec F=(P,Q,R) com P=x^2z, Q=xy^2 e R=z^2. Então
nablatimesvec F=l(partialyR-partialzQ,;partialzP-partialxR,;partialxQ-partialyPr)=(0,,x^2,,y^2)

Passo 3

Encontramos a equação do plano. Os vetores diretores são (-3,1,2) e (1,-5,4), seu produto vetorial dá normal (1,1,1). Como o plano passa por (tfrac13,tfrac13,tfrac13), temos
x+y+z=1

Passo 4

Escolhemos a orientação cujo vetor normal tenha componente z>0 (sinal de CCW visto de cima). Parametrizamos pela projeção no plano xy:
z=1-x-y, dvec S=l(1,1,1r),dA

Passo 5

Pelo Teorema de Stokes
integralCvec Fcdot dvec r=integral duplaS(nablatimesvec F)cdot dvec S=integral duplaD(0,x^2,y^2)cdot(1,1,1),dA=integral duplaD(x^2+y^2),dA,
onde D é o disco x^2+y^2<=9. Passamos a coordenadas polares:
x^2+y^2=r^2, dA=r,dr,dtheta, 0<= r<=3,;0<=theta<=2pi

Passo 6

Calculamos a integral em r,theta:
integral0^2piintegral0^3r^2cdot r,dr,dtheta=integral0^2pi3^44,dtheta=814cdot2pi=81pi2

Resposta

81pi2

Exercícios relacionados