Encontre a área da região do plano polar limitada pela cardióide
.
Passo 1
O enunciado pede claramente: encontrar a área da região do plano polar limitada pela cardióide dada por
.
Informações que temos:
- A curva em coordenadas polares é
. - Queremos a área da região interna a essa curva (a “região limitada” pela cardióide).
- Não há outras restrições dadas (logo devemos tomar a volta inteira da curva).
Passo 2
Entendendo o que é
e
e como calcular área em coordenadas polares.
- Em coordenadas polares, um ponto do plano é dado por
(distância do origem) e (ângulo). - A área de um setor circular muito fino, de raio
e de ângulo , é aproximadamente . Essa fórmula vem da área de um setor de raio e ângulo , que é . Aqui varia com , então usamos e somamos (integrando) os setores. - Portanto, a fórmula padrão para a área de uma curva polar
entre e é
Vou usar essa fórmula.
Passo 3
Escolher os limites de integração
e
.
- Precisamos de um intervalo de
que percorra a cardióide uma única vez. A função dada é . - Verificar se
fica negativa em algum ângulo (isso exigiria cuidado com interpretação de volta): calculando o mínimo, tem-se então
com igualdade em
. Logo
para todo
.
- Para uma cardióide padrão como essa, o intervalo
descreve a curva inteira exatamente uma vez. Portanto escolhemos e .
Passo 4
Montar a integral da área com a expressão explícita de
.
- Aplicando a fórmula da área:
- Expandir o quadrado para facilitar a integração:
- Substituindo:
Passo 5
Simplificar o termo
usando identidade trigonométrica e reorganizar a integral.
- Usar a identidade
- Substituindo em
:
- Assim a integral fica
Passo 6
Calcular a integral termo a termo.
- Separar os termos:
- Calcular cada integral básica (essas integrais são simples e podem ser feitas sem calculadora):
-
. -
. -
.
-
- Substituindo esses resultados:
- Calcular a multiplicação interna:
. Então
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida (para dar confiança).
- A cardióide dada tem área finita e positiva; o valor ) faz sentido dimensionalmente (unidades de área).
- Uma forma de conferir mentalmente: para comparação, um círculo de raio
tem área . Se a cardióide tivesse “tamanho médio” equivalente a raio , daria área ; essa comparação serve só como sensação de escala — o cálculo integral é o que determina exatamente a área.