Encontre a área da região do plano polar limitada pela cardióide \mathrm{r}=2-2 \cos \theta.

Passo 1

O enunciado pede claramente: encontrar a área da região do plano polar limitada pela cardióide dada por \mathrm{r}=2-2\cos\theta.
Informações que temos:
  • A curva em coordenadas polares é \mathrm{r}=2-2\cos\theta.
  • Queremos a área da região interna a essa curva (a “região limitada” pela cardióide).
  • Não há outras restrições dadas (logo devemos tomar a volta inteira da curva).

Passo 2

Entendendo o que é \mathrm{r} e \theta e como calcular área em coordenadas polares.
  • Em coordenadas polares, um ponto do plano é dado por \mathrm{r} (distância do origem) e \theta (ângulo).
  • A área de um setor circular muito fino, de raio \mathrm{r} e de ângulo \mathrm{d}\theta, é aproximadamente \tfrac{1}{2}\mathrm{r}^2\,\mathrm{d}\theta. Essa fórmula vem da área de um setor de raio R e ângulo \varphi, que é \tfrac{1}{2}R^2\varphi. Aqui R varia com \theta, então usamos \mathrm{r}(\theta) e somamos (integrando) os setores.
  • Portanto, a fórmula padrão para a área de uma curva polar \mathrm{r}=\mathrm{r}(\theta) entre \theta=\alpha e \theta=\beta é
A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} \mathrm{r}(\theta)^2\,\mathrm{d}\theta.
Vou usar essa fórmula.

Passo 3

Escolher os limites de integração \alpha e \beta.
  • Precisamos de um intervalo de \theta que percorra a cardióide uma única vez. A função dada é \mathrm{r}(\theta)=2-2\cos\theta.
  • Verificar se \mathrm{r}(\theta) fica negativa em algum ângulo (isso exigiria cuidado com interpretação de volta): calculando o mínimo, tem-se \cos\theta\le 1 então
\mathrm{r}(\theta)=2-2\cos\theta \ge 2-2\cdot 1=0,
com igualdade em \theta=0. Logo \mathrm{r}(\theta)\ge 0 para todo \theta.
  • Para uma cardióide padrão como essa, o intervalo \theta\in[0,2\pi] descreve a curva inteira exatamente uma vez. Portanto escolhemos \alpha=0 e \beta=2\pi.

Passo 4

Montar a integral da área com a expressão explícita de \mathrm{r}(\theta).
  • Aplicando a fórmula da área:
A=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} \bigl(2-2\cos\theta\bigr)^2 \,\mathrm{d}\theta.
  • Expandir o quadrado para facilitar a integração:
\bigl(2-2\cos\theta\bigr)^2 = 4\bigl(1-\cos\theta\bigr)^2 = 4\bigl(1 -2\cos\theta +\cos^2\theta\bigr).
  • Substituindo:
A=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} 4\bigl(1 -2\cos\theta +\cos^2\theta\bigr)\,\mathrm{d}\theta =2\int_{0}^{2\pi}\bigl(1 -2\cos\theta +\cos^2\theta\bigr)\,\mathrm{d}\theta.

Passo 5

Simplificar o termo \cos^2\theta usando identidade trigonométrica e reorganizar a integral.
  • Usar a identidade
\cos^2\theta=\frac{1+\cos 2\theta}{2}.
  • Substituindo em 1 -2\cos\theta +\cos^2\theta:
1 -2\cos\theta +\cos^2\theta = 1 -2\cos\theta +\frac{1+\cos 2\theta}{2} = \frac{3}{2} -2\cos\theta +\frac{1}{2}\cos 2\theta.
  • Assim a integral fica
A=2\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{3}{2} -2\cos\theta +\frac{1}{2}\cos 2\theta\right)\,\mathrm{d}\theta.

Passo 6

Calcular a integral termo a termo.
  • Separar os termos:
A=2\left[\frac{3}{2}\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta \;-\;2\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,\mathrm{d}\theta \;+\;\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\cos 2\theta\,\mathrm{d}\theta\right].
  • Calcular cada integral básica (essas integrais são simples e podem ser feitas sem calculadora):
    • \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta = 2\pi.
    • \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,\mathrm{d}\theta = \bigl[\sin\theta\bigr]_{0}^{2\pi}=0.
    • \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\cos 2\theta\,\mathrm{d}\theta = \left[\tfrac{1}{2}\sin 2\theta\right]_{0}^{2\pi}=0.
  • Substituindo esses resultados:
A=2\left[\frac{3}{2}\cdot 2\pi -2\cdot 0 +\frac{1}{2}\cdot 0\right] =2\cdot \left(\frac{3}{2}\cdot 2\pi\right).
  • Calcular a multiplicação interna: \displaystyle \frac{3}{2}\cdot 2\pi=3\pi. Então
A=2\cdot 3\pi=6\pi.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida (para dar confiança).
  • A cardióide dada tem área finita e positiva; o valor \(6\pi) faz sentido dimensionalmente (unidades de área).
  • Uma forma de conferir mentalmente: para comparação, um círculo de raio r tem área \pi r^2. Se a cardióide tivesse “tamanho médio” equivalente a raio \sqrt{6}, daria área 6\pi; essa comparação serve só como sensação de escala — o cálculo integral é o que determina exatamente a área.

Resposta

6\pi

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