Seja
o sólido no primeiro octante limitado pela esfera
e os planos coordenados, reescreva a integral com os limites corretos
a) usando coordenadas cartesianas. (2)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sólido
que está no primeiro octante (ou seja, onde
,
e
são positivos) e é limitado pela esfera
e pelos planos coordenados. Queremos reescrever a integral tripla
usando coordenadas cartesianas com os limites de integração corretos. Vamos precisar usar conhecimentos de geometria espacial e cálculo de integrais múltiplas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no primeiro octante, todas as coordenadas
,
e
são maiores ou iguais a zero:
Passo 3
A esfera dada pela equação
tem raio 2, já que
. Isso significa que todos os pontos
que satisfazem essa equação estão a uma distância de 2 unidades da origem.
Passo 4
Para estabelecer os limites de integração em coordenadas cartesianas, precisamos determinar os intervalos para
,
e
dentro do sólido
.
Começamos definindo o intervalo para
. Como estamos no primeiro octante e dentro da esfera,
varia de 0 até 2:
Passo 5
Para cada valor de
, o valor de
vai variar de 0 até o limite imposto pela esfera. Resolvendo a equação da esfera para
, temos:
Então, o intervalo para
é:
Passo 6
Por fim, para cada par
, o valor de
varia de 0 até o limite da esfera. Resolvendo para
:
Então, o intervalo para
é:
Resposta
Assim, a integral tripla reescrita em coordenadas cartesianas com os limites corretos fica: