Seja G o sólido no primeiro octante limitado pela esfera x^2+y^2+ z^2=4 e os planos coordenados, reescreva a integral com os limites corretos
integral triplaG x y z d V
a) usando coordenadas cartesianas. (2)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sólido integral triplaG x y z , dV que está no primeiro octante (ou seja, onde , e são positivos) e é limitado pela esfera e pelos planos coordenados. Queremos reescrever a integral tripla
usando coordenadas cartesianas com os limites de integração corretos. Vamos precisar usar conhecimentos de geometria espacial e cálculo de integrais múltiplas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no primeiro octante, todas as coordenadas x >= 0, y >= 0, z >= 0 , e são maiores ou iguais a zero:

Passo 3

A esfera dada pela equação tem raio 2, já que . Isso significa que todos os pontos que satisfazem essa equação estão a uma distância de 2 unidades da origem.

Passo 4

Para estabelecer os limites de integração em coordenadas cartesianas, precisamos determinar os intervalos para 0 <= x <= 2 , e dentro do sólido .
Começamos definindo o intervalo para . Como estamos no primeiro octante e dentro da esfera, varia de 0 até 2:

Passo 5

Para cada valor de y^2 + z^2 = 4 - x^2 Rightarrow y <= raiz4 - x^2 , o valor de 0 <= y <= raiz4 - x^2 vai variar de 0 até o limite imposto pela esfera. Resolvendo a equação da esfera para , temos:
Então, o intervalo para é:

Passo 6

Por fim, para cada par z^2 = 4 - x^2 - y^2 Rightarrow z <= raiz4 - x^2 - y^2 , o valor de 0 <= z <= raiz4 - x^2 - y^2 varia de 0 até o limite da esfera. Resolvendo para :
Então, o intervalo para é:

Resposta

Assim, a integral tripla reescrita em coordenadas cartesianas com os limites corretos fica:
integral triplaG x y z , dV = integral0^2 integral0^raiz4 - x^2 integral0^raiz4 - x^2 - y^2 x y z , dz , dy , dx

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