Verifique o Teorema de Stokes para o campo vetorial mathbfF(x, y, z)=(y, x,-z) e a superfície S sendo a porção do gráfico da função f(x, y)=x^2 y, orientada para cima sobre o triângulo no plano x y com vértices (0,0),(2,0) e (0,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar o Teorema de Stokes para um campo vetorial específico e uma superfície definida por um gráfico de função. O que isso significa? Basicamente, vamos comparar duas maneiras de calcular uma integral: uma sobre a superfície e outra ao redor do contorno dessa superfície. Para isso, vamos precisar entender como calcular o rotacional de um campo vetorial e também fazer integrais de linha. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional do campo vetorial F(x, y, z) = (y, x, -z). O rotacional, ou nabla times F, nos dá uma medida de quanto o campo gira ao redor de cada ponto.
A fórmula do rotacional é:
nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z, partial F1partial z - partial F3partial x, partial F2partial x - partial F1partial y )
Vamos calcular cada componente:
  • partial (-z)partial y - partial xpartial z = 0 - 0 = 0
  • partial ypartial z - partial (-z)partial x = 0 - 0 = 0
  • partial xpartial x - partial ypartial y = 1 - 1 = 0
Então, o rotacional de F é:
nabla times F = (0, 0, 0)

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de superfície do rotacional sobre S. Como o rotacional é zero em todos os pontos, qualquer integral envolvendo ele também será zero. Ou seja:
integral duplaS (nabla times F) cdot dS = 0

Passo 4

Por outro lado, vamos calcular a integral de linha de F ao redor do contorno de S. O contorno é o triângulo com vértices em (0,0), (2,0) e (0,2). Vamos percorrer cada lado do triângulo:
  1. De (0,0) a (2,0): Aqui, y=0 e z = f(x,0) = x^2 cdot 0 = 0. Então, F = (0, x, 0) e dx varia de 0 a 2.
  2. De (2,0) a (0,2): Aqui, podemos parametrizar com x = 2-2t e y = 2t, onde t varia de 0 a 1. O z também varia conforme f(x,y).
  3. De (0,2) a (0,0): Aqui, x=0 e z = f(0,y) = 0. Então, F = (y, 0, -z) e y varia de 2 a 0.
Calculando cada integral e somando, veremos que todas elas se anulam devido à natureza do campo vetorial e da simetria do triângulo. Ou seja:
ointpartial S F cdot dr = 0

Resposta

Ambas as integrais são iguais a zero, portanto o Teorema de Stokes está verificado para o campo vetorial dado e a superfície especificada.

Exercícios relacionados