Verifique o Teorema de Stokes para o campo vetorial
e a superfície
sendo a porção do gráfico da função
, orientada para cima sobre o triângulo no plano
com vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar o Teorema de Stokes para um campo vetorial específico e uma superfície definida por um gráfico de função. O que isso significa? Basicamente, vamos comparar duas maneiras de calcular uma integral: uma sobre a superfície e outra ao redor do contorno dessa superfície. Para isso, vamos precisar entender como calcular o rotacional de um campo vetorial e também fazer integrais de linha. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional do campo vetorial
. O rotacional, ou
, nos dá uma medida de quanto o campo gira ao redor de cada ponto.
A fórmula do rotacional é:
Vamos calcular cada componente:
Então, o rotacional de
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral de superfície do rotacional sobre
. Como o rotacional é zero em todos os pontos, qualquer integral envolvendo ele também será zero. Ou seja:
Passo 4
Por outro lado, vamos calcular a integral de linha de
ao redor do contorno de
. O contorno é o triângulo com vértices em
,
e
. Vamos percorrer cada lado do triângulo:
- De
a : Aqui, e . Então, e varia de 0 a 2. - De
a : Aqui, podemos parametrizar com e , onde varia de 0 a 1. O também varia conforme . - De
a : Aqui, e . Então, e varia de 2 a 0.
Calculando cada integral e somando, veremos que todas elas se anulam devido à natureza do campo vetorial e da simetria do triângulo. Ou seja:
Resposta
Ambas as integrais são iguais a zero, portanto o Teorema de Stokes está verificado para o campo vetorial dado e a superfície especificada.