Use o Teorema de Stokes para calcular
\vec{F}(x, y, z)=x^{2} y \vec{i}+x^{3} \vec{j}+e^{z} \operatorname{arctg} z \vec{k} ; C é a curva com equações paramétricas x= cost, y= sent, z= sent, 0 \leq t \leq 2 \pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha de \vec{F} ao longo da curva C usando o Teorema de Stokes. Dados fornecidos:
\vec{F}(x,y,z)=x^{2}y\,\vec{i}+x^{3}\,\vec{j}+e^{z}\arctan z\,\vec{k}
A curva C tem equações paramétricas
x=\cos t,\quad y=\sin t,\quad z=\sin t,\qquad 0\le t\le 2\pi.
O que é pedido: calcular
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}
usando o Teorema de Stokes.

Passo 2

Explicando o Teorema de Stokes de forma prática (mini-aula): o Teorema de Stokes diz que, para uma superfície orientada S com contorno \partial S=C e campo vetorial \vec{F} suave,
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS,
onde \nabla\times\vec{F} é o rotacional (curl) de \vec{F} e \vec{n} é o versor normal da superfície orientada. Na prática, frequentemente parametrizamos S por coordenadas (u,v), calculamos \vec{r}_u\times\vec{r}_v (vetor normal sem normalizar) e usamos
\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS=\iint_{D}(\nabla\times\vec{F})\cdot(\vec{r}_u\times\vec{r}_v)\,du\,dv,
onde D é a região no plano dos parâmetros.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional \nabla\times\vec{F}. Para \vec{F}=(P,Q,R) com P=x^{2}y, Q=x^{3}, R=e^{z}\arctan z, usamos a fórmula por componentes:
\nabla\times\vec{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\\ \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\\ \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right).
Calculemos cada parcial:
\frac{\partial R}{\partial y}=0\quad(\text{pois }R\text{ depende só de }z),\qquad \frac{\partial Q}{\partial z}=0,ó
logo a primeira componente é 0.
\frac{\partial P}{\partial z}=0\quad(\text{pois }P\text{ não depende de }z),\qquad \frac{\partial R}{\partial x}=0,ã
logo a segunda componente é 0.
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}x^{3}=3x^{2},\qquad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y)=x^{2},
portanto a terceira componente é 3x^{2}-x^{2}=2x^{2}.
Assim
\nabla\times\vec{F}=(0,0,2x^{2}).

Passo 4

Escolha da superfície S adequada (mini-justificação): observando a parametrização de C temos y=\sin t e z=\sin t, então sobre C vale z=y. Além disso, (x,y) percorre o círculo unitário x^{2}+y^{2}=1. Assim C é a curva de interseção do cilindro x^{2}+y^{2}=1 com o plano z=y. Uma escolha natural para S é o disco unitário no plano z=y, isto é, a superfície dada por todos os pontos (x,y,z) com x^{2}+y^{2}\le 1 e z=y. O contorno desse disco é exatamente a curva C.
Parametrizamos S pela projeção no plano xy:
\vec{r}(x,y)=(x,y,y),\qquad (x,y)\in D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}.

Passo 5

Calculamos os vetores tangentes e o vetor normal não unitário:
\vec{r}_x=(1,0,0),\qquad \vec{r}_y=(0,1,1).
Produto vetorial
\vec{r}_x\times\vec{r}_y=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\[4pt] 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}=(0,-1,1).
Observação sobre orientação: usando essa parametrização com a ordem (x,y) e domínio D com a orientação usual, a orientação do contorno projetado é no sentido anti-horário, que coincide com a parametrização dada de C ( x=\cos t,\;y=\sin t é anti-horário). Portanto não precisamos trocar sinal; podemos usar diretamente \vec{r}_x\times\vec{r}_y.]

Passo 6

Agora compute o produto escalar (\nabla\times\vec{F})\cdot(\vec{r}_x\times\vec{r}_y):
(\nabla\times\vec{F})\cdot(\vec{r}_x\times\vec{r}_y)=(0,0,2x^{2})\cdot(0,-1,1)=2x^{2}.
Assim a integral de superfície reduz-se à integral dupla sobre o disco unitário D no plano xy:
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{D}2x^{2}\,dA.

Passo 7

Vamos calcular \iint_{D}2x^{2}\,dA em coordenadas polares: use x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta,\;dA=r\,dr\,d\theta, com 0\le r\le 1,\;0\le\theta\le 2\pi. Substituindo:
2x^{2}=2r^{2}\cos^{2}\theta,
então o integrando com o jacobiano é
2r^{2}\cos^{2}\theta\cdot r=2r^{3}\cos^{2}\theta.
A integral torna-se
\iint_{D}2x^{2}\,dA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}2r^{3}\cos^{2}\theta\,dr\,d\theta.

Passo 8

Calcule as integrais separando r e \theta. Primeiro a parte em r:
\int_{0}^{1}2r^{3}\,dr=2\cdot\frac{r^{4}}{4}\Big|_{0}^{1}=2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2}.
Agora a parte em \theta:
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta=\pi,
pois \cos^{2}\theta=(1+\cos 2\theta)/2 e a integral do \cos 2\theta sobre um período é zero:
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta=\int_{0}^{2\pi}\frac{1+\cos 2\theta}{2}\,d\theta=\frac{1}{2}\cdot 2\pi=\pi.
Multiplicando as duas partes:
\iint_{D}2x^{2}\,dA=\left(\frac{1}{2}\right)\cdot\pi=\frac{\pi}{2}.

Passo 9

Breve verificação (opcional, para te deixar mais confiante): se alguém preferir, dá para calcular diretamente \oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} usando a parametrização de C. Fazendo isso (substituindo x=\cos t,\;y=\sin t,\;z=\sin t e d\vec{r}=(-\sin t,\cos t,\cos t)\,dt) chega-se à mesma resposta \pi/2. Então o resultado pelo Teorema de Stokes está consistente.

Resposta

\dfrac{\pi}{2}

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