Use o Teorema de Stokes para calcular \vec{F}(x, y, z)=x^{2} y \vec{i}+x^{3} \vec{j}+e^{z} \operatorname{arctg} z \vec{k} ; C é a curva com equações paramétricas x= cost,y= sent,z= sent, 0 \leq t \leq 2 \pi.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha de \vec{F} ao longo da curva C usando o Teorema de Stokes. Dados fornecidos:
Explicando o Teorema de Stokes de forma prática (mini-aula): o Teorema de Stokes diz que, para uma superfície orientada S com contorno \partial S=C e campo vetorial \vec{F} suave,
onde \nabla\times\vec{F} é o rotacional (curl) de \vec{F} e \vec{n} é o versor normal da superfície orientada. Na prática, frequentemente parametrizamos S por coordenadas (u,v), calculamos \vec{r}_u\times\vec{r}_v (vetor normal sem normalizar) e usamos
portanto a terceira componente é 3x^{2}-x^{2}=2x^{2}.
Assim
\nabla\times\vec{F}=(0,0,2x^{2}).
Passo 4
Escolha da superfície S adequada (mini-justificação): observando a parametrização de C temos y=\sin t e z=\sin t, então sobre C vale z=y. Além disso, (x,y) percorre o círculo unitário x^{2}+y^{2}=1. Assim C é a curva de interseção do cilindro x^{2}+y^{2}=1 com o plano z=y. Uma escolha natural para S é o disco unitário no plano z=y, isto é, a superfície dada por todos os pontos (x,y,z) com x^{2}+y^{2}\le 1 e z=y. O contorno desse disco é exatamente a curva C.
Observação sobre orientação: usando essa parametrização com a ordem (x,y) e domínio D com a orientação usual, a orientação do contorno projetado é no sentido anti-horário, que coincide com a parametrização dada de C ( x=\cos t,\;y=\sin t é anti-horário). Portanto não precisamos trocar sinal; podemos usar diretamente \vec{r}_x\times\vec{r}_y.]
Passo 6
Agora compute o produto escalar (\nabla\times\vec{F})\cdot(\vec{r}_x\times\vec{r}_y):
Vamos calcular \iint_{D}2x^{2}\,dA em coordenadas polares: use x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta,\;dA=r\,dr\,d\theta, com 0\le r\le 1,\;0\le\theta\le 2\pi. Substituindo:
Breve verificação (opcional, para te deixar mais confiante): se alguém preferir, dá para calcular diretamente \oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} usando a parametrização de C. Fazendo isso (substituindo x=\cos t,\;y=\sin t,\;z=\sin t e d\vec{r}=(-\sin t,\cos t,\cos t)\,dt) chega-se à mesma resposta \pi/2. Então o resultado pelo Teorema de Stokes está consistente.