Use o Teorema de Stokes para calcular
\vec{F}(x, y, z)=(x+y)^{2} \vec{i}-(x-y)^{2} \vec{j}+z^{2} \vec{k} ; C é a interseção do cilindro elíptico 4 x^{2}+9 y^{2}=36 com o plano x+y+2 z=2, percorrida no sentido anti-horário qando vista da origem.

Passo 1

O problema pede o valor da integral de linha da campo vetorial \vec{F} ao longo da curva C, onde
\vec{F}(x,y,z)=(x+y)^{2}\,\vec{i}-(x-y)^{2}\,\vec{j}+z^{2}\,\vec{k},
e C é a interseção do cilindro elíptico \;4x^{2}+9y^{2}=36\; com o plano \;x+y+2z=2\;, percorrida no sentido anti-horário quando vista da origem.
Temos que calcular
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
As informações relevantes são: a curva C é o bordo da parte do plano dentro do cilindro elíptico; a orientação dada (anti-horário vista da origem) determina a escolha do sinal da normal da superfície que usaremos.

Passo 2

Vou aplicar o Teorema de Stokes. Enunciado do teorema (explicado de forma simples): se S é uma superfície orientada com bordo \partial S=C, e \vec{n} é a normal orientada segundo a regra da mão direita, então
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS.
Aqui \nabla\times\vec{F} é o rotacional (curl) de \vec{F}; \vec{n} é um vetor normal (não necessariamente unitário) associado à parametrização da superfície e dS é a área elementar na superfície. A orientação do vetor normal deve ser tal que, olhando na direção do vetor normal, a curva C seja percorrida no sentido anti-horário (regra da mão direita). No enunciado a curva é anti-horária quando vista da origem, então devemos escolher o normal que aponta na direção do vetor que “aponta para a origem”.

Passo 3

Calculo o rotacional \nabla\times\vec{F}. Lembre que para \vec{F}=(F_x,F_y,F_z) temos
\nabla\times\vec{F}=\Big(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z},\; \frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x},\; \frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\Big).
Aplicando com F_x=(x+y)^2, F_y=-(x-y)^2, F_z=z^2:
\frac{\partial F_z}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial F_y}{\partial z}=0,
\frac{\partial F_x}{\partial z}=0,\qquad \frac{\partial F_z}{\partial x}=0,
\frac{\partial F_y}{\partial x}=-2(x-y),\qquad \frac{\partial F_x}{\partial y}=2(x+y).
Portanto o terceiro componente é
\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}=-2(x-y)-2(x+y)=-4x.
Logo
\nabla\times\vec{F}=(0,0,-4x).

Passo 4

Escolho como superfície S a porção do plano \;x+y+2z=2\; que está dentro do cilindro elíptico. Essa escolha é natural porque o bordo dessa porção é justamente a curva C. Parametrizo a superfície por (x,y) (projeção no plano xy):
\vec{r}(x,y)=\big(x,\;y,\;\tfrac{2-x-y}{2}\big),
onde (x,y) varia na região D do plano xy dada pelo cilindro (projeção): \;4x^{2}+9y^{2}\le 36\;. Essa região D é uma elipse centrada na origem.

Passo 5

Calculo os vetores parciais e o produto vetorial para obter o vector normal associado à parametrização:
\vec{r}_x=(1,0,-\tfrac{1}{2}),\qquad \vec{r}_y=(0,1,-\tfrac{1}{2}).
O produto vetorial é
\vec{r}_x\times\vec{r}_y=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\[2pt]1&0&-\tfrac{1}{2}\\[2pt]0&1&-\tfrac{1}{2}\end{vmatrix}=(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},1).
Esse vetor é paralelo ao vetor normal (1,1,2) do plano. Agora ajustamos o sinal para corresponder à orientação pedida: a curva é percorrida anti-horariamente quando vista da origem, então precisamos que o vetor normal apontando “para fora” (o tip) esteja na direção da origem. Tomo um ponto simples da superfície, por exemplo P=(2,0,0) (que satisfaz a equação do plano), o vetor de P até a origem é -P=(-2,0,0). O produto escalar
(\vec{r}_x\times\vec{r}_y)\cdot(-P)=(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},1)\cdot(-2,0,0)=-1<0,
ou seja, \vec{r}_x\times\vec{r}_y aponta para o lado oposto da origem. Queremos o normal apontando em direção à origem, portanto devemos usar o vetor normal com sinal trocado:
\vec{n}_{\text{orient}}=-\vec{r}_x\times\vec{r}_y=\big(-\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2},-1\big).
Pela fórmula do teorema de Stokes, a integral de superfície pode ser escrita como
\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS=\iint_{D}(\nabla\times\vec{F})\cdot(\vec{r}_x\times\vec{r}_y)\,dA,
mas como escolhemos o normal orientado desejado, usamos -\vec{r}_x\times\vec{r}_y no lugar de \vec{r}_x\times\vec{r}_y.]

Passo 6

Calculo o integrando:
(\nabla\times\vec{F})\cdot\big(-\vec{r}_x\times\vec{r}_y\big)=(0,0,-4x)\cdot\big(-\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2},-1\big)=(-4x)\cdot(-1)=4x.
Portanto, pela parametrização, a integral de superfície vira a integral dupla sobre D:
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{D}4x\,dA,
onde D=\{(x,y)\mid 4x^{2}+9y^{2}\le 36\}.

Passo 7

Agora avalio a integral \iint_{D}4x\,dA. Note que a região D é uma elipse centrada na origem e simétrica em relação ao eixo y. A função 4x é ímpar em x (isto é, (4x)\big|_{x\mapsto -x}=-4x). Integrar uma função ímpar sobre uma região simétrica em x (como essa elipse centrada na origem) dá zero, pois contribuições de x>0 e x<0 se cancelam. Assim
\iint_{D}4x\,dA=0.

Resposta

0

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