Use o Teorema de Stokes para calcular \vec{F}(x, y, z)=(x+y)^{2} \vec{i}-(x-y)^{2} \vec{j}+z^{2} \vec{k} ; C é a interseção do cilindro elíptico 4 x^{2}+9 y^{2}=36 com o plano x+y+2 z=2, percorrida no sentido anti-horário qando vista da origem.
Passo 1
O problema pede o valor da integral de linha da campo vetorial \vec{F} ao longo da curva C, onde
e C é a interseção do cilindro elíptico \;4x^{2}+9y^{2}=36\; com o plano \;x+y+2z=2\;, percorrida no sentido anti-horário quando vista da origem.
Temos que calcular
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
As informações relevantes são: a curva C é o bordo da parte do plano dentro do cilindro elíptico; a orientação dada (anti-horário vista da origem) determina a escolha do sinal da normal da superfície que usaremos.
Passo 2
Vou aplicar o Teorema de Stokes. Enunciado do teorema (explicado de forma simples): se S é uma superfície orientada com bordo \partial S=C, e \vec{n} é a normal orientada segundo a regra da mão direita, então
Aqui \nabla\times\vec{F} é o rotacional (curl) de \vec{F}; \vec{n} é um vetor normal (não necessariamente unitário) associado à parametrização da superfície e dS é a área elementar na superfície. A orientação do vetor normal deve ser tal que, olhando na direção do vetor normal, a curva C seja percorrida no sentido anti-horário (regra da mão direita). No enunciado a curva é anti-horária quando vista da origem, então devemos escolher o normal que aponta na direção do vetor que “aponta para a origem”.
Passo 3
Calculo o rotacional \nabla\times\vec{F}. Lembre que para \vec{F}=(F_x,F_y,F_z) temos
Escolho como superfície S a porção do plano \;x+y+2z=2\; que está dentro do cilindro elíptico. Essa escolha é natural porque o bordo dessa porção é justamente a curva C. Parametrizo a superfície por (x,y) (projeção no plano xy):
\vec{r}(x,y)=\big(x,\;y,\;\tfrac{2-x-y}{2}\big),
onde (x,y) varia na região D do plano xy dada pelo cilindro (projeção): \;4x^{2}+9y^{2}\le 36\;. Essa região D é uma elipse centrada na origem.
Passo 5
Calculo os vetores parciais e o produto vetorial para obter o vector normal associado à parametrização:
Esse vetor é paralelo ao vetor normal (1,1,2) do plano. Agora ajustamos o sinal para corresponder à orientação pedida: a curva é percorrida anti-horariamente quando vista da origem, então precisamos que o vetor normal apontando “para fora” (o tip) esteja na direção da origem. Tomo um ponto simples da superfície, por exemplo P=(2,0,0) (que satisfaz a equação do plano), o vetor de P até a origem é -P=(-2,0,0). O produto escalar
ou seja, \vec{r}_x\times\vec{r}_y aponta para o lado oposto da origem. Queremos o normal apontando em direção à origem, portanto devemos usar o vetor normal com sinal trocado:
Portanto, pela parametrização, a integral de superfície vira a integral dupla sobre D:
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{D}4x\,dA,
onde D=\{(x,y)\mid 4x^{2}+9y^{2}\le 36\}.
Passo 7
Agora avalio a integral \iint_{D}4x\,dA. Note que a região D é uma elipse centrada na origem e simétrica em relação ao eixo y. A função 4x é ímpar em x (isto é, (4x)\big|_{x\mapsto -x}=-4x). Integrar uma função ímpar sobre uma região simétrica em x (como essa elipse centrada na origem) dá zero, pois contribuições de x>0 e x<0 se cancelam. Assim