Use o Teorema de Stokes para calcular
é a parte da superfície
que está sobre o plano
.
Passo 1
Enunciado claro: temos o campo vetorial
. A superfície
é a parte da superfície
que está acima (isto é, sobre) o plano
. O que nos pedem: calcular a integral de superfície de
sobre
usando o Teorema de Stokes (ou equivalentemente calcular a integral de linha de
ao longo da fronteira de
).\n
Informações fornecidas que vamos usar explicitamente:
Informações fornecidas que vamos usar explicitamente:
- A equação da superfície pode ser escrita completando o quadrado em
. - A fronteira
é a curva de interseção entre a superfície e o plano . - O enunciado pede que se use o Teorema de Stokes.
Passo 2
Cálculo do rotor (
). Lembra: para
temos
Aqui
,
,
. Calculamos as derivadas parciais uma a uma:
Substituindo na expressão do rotor obtemos
Passo 3
Enunciado exige Stokes: o Teorema de Stokes diz que a integral de superfície do rotor sobre
é igual à integral de linha de
ao longo da fronteira
orientada consistentemente com a normal escolhida:
Escolho a normal que aponta para cima (com componente
positiva). Com essa normal, a orientação positiva da curva
é no sentido anti-horário vista de cima (ou seja, conforme
aumenta, a curva vista do lado positivo do eixo
aparece anti-horária). Assim basta parametrizar
com essa orientação e calcular
.
Passo 4
Encontrar a fronteira
: é a interseção entre a superfície e
. Primeiro reescrevo a equação completando o quadrado em
:
Para
obtemos
Esta é a equação de uma elipse no plano
com semi-eixo
ao longo de
e semi-eixo
ao longo de
.
Passo 5
Parametrização da curva
com orientação anti-horária vista de cima: uso a parametrização elíptica padrão
Então
E
.
Passo 6
Expressar
na curva (lembre que
na curva): em
temos
O produto escalar
ao longo de
fica
Como
é constante
, logo
Assim a integral de linha reduz-se a
Passo 7
Calcular
usando a parametrização. Temos
e
. Então
Faço a substituição
,
. Os limites
e
. Assim
Portanto
.
Passo 8
Calcular
. Pela parametrização
e
. Então
Usamos a identidade de redução
. Integrando de
a
os termos com
e
dão zero, ficando
Portanto
Passo 9
Juntando os resultados do Passo 7 e do Passo 8:
Pelo Teorema de Stokes esse valor é igual à integral de superfície pedido. Força aí — já era trabalho de contagem da prova!