Use o Teorema de Stokes para calcular
é a parte da superfície
que está sobre o plano
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e a superfície
definida pela equação
na parte que está sobre o plano
(ou seja, a porção da superfície com
).\n
O que precisamos calcular: a integral de superfície
O que precisamos calcular: a integral de superfície
onde
é a normal orientada de
. Pelo Teorema de Stokes, essa integral de superfície é igual à integral de linha do campo
ao longo da fronteira
:
Vou usar o Teorema de Stokes transformando a integral de superfície numa integral de linha sobre
, que é mais simples porque
está no plano
.
Passo 2
Encontre a curva fronteira
. A fronteira é a interseção da superfície com o plano
. Substituindo
na equação de
obtemos
Completa-se o quadrado em
:
Portanto
é o círculo de centro
e raio
no plano
:
Observação sobre orientação: o vetor normal não unitário dado por
para a superfície
é
Na fronteira
a componente
do gradiente é
. Se tomarmos
isso indica que a normal dada por
tem componente
positiva; adotaremos essa orientação (normal com componente
positiva). Pela regra da mão direita, a orientação positiva da curva
vista de cima (direção +z) é anti-horária (sentido trigonométrico,
crescente).
Passo 3
Parametrização da curva
compatível com essa orientação: use
Verificação rápida:
. Para
aumentando essa parametrização percorre o círculo no sentido anti-horário visto de cima, como queremos.
As derivadas são
Passo 4
Pelo Teorema de Stokes temos
Então vamos calcular a integral de linha
, onde
são as componentes de
. Como
e
, só precisamos de
e
avaliados em
.
Avalie
em
:
Passo 5
Substitua a parametrização na expressão de
e
.
Com e
,
Com
(Se quiser ver rápido: use
e desenvolva os quadrados.)
Passo 6
Compute a integrand
. Usando
e
,
Separe termos ímpares em
(que integrarão zero em
a
) e termos só em
. Os termos com fator
são
todos esses têm integral zero em
(funções ímpares em relação ao ponto médio do período). Restam os termos puramente em
:
Logo a integral torna-se
Passo 7
Calcule as integrais separadamente.
Para
use a identidade
:
Para
use
, então
Somando, a integral total vale
.
Passo 8
Portanto, pelo Teorema de Stokes,