Use o Teorema de Stokes para calcular
\vec{F}(x, y, z)=\left(x^{3}-z\right) \vec{i}+x y \vec{j}+\left(y+z^{2}\right) \vec{k} ; C é a curva de interseção do paraboloide z=x^{2}+y^{2} com o plano z=x.

Passo 1

O enunciado pede a circulação de \vec{F} ao longo da curva C, onde
\vec{F}(x,y,z)=(x^{3}-z)\,\vec{i}+x y\,\vec{j}+(y+z^{2})\,\vec{k}.
A curva C é a interseção do paraboloide z=x^{2}+y^{2} com o plano z=x.
Informações úteis dadas pelo enunciado:
  1. A curva C é fechada (interseção de duas superfícies).
  2. As superfícies que definem C são z=x^{2}+y^{2} e z=x.
  3. Precisamos do valor de \displaystyle \oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} (a circulação de \vec{F} ao longo de C).

Passo 2

Vamos usar um teorema que troca a integral de linha por uma integral de superfície (o Teorema de Stokes). Para aplicá-lo precisamos escolher uma superfície S cujo contorno seja C. Uma escolha simples é a porção do plano z=x limitada pela curva C (ou seja, o disco planar que tem fronteira C). Essa escolha é conveniente porque o plano é uma superfície simples e sua projeção no plano xy será um disco fácil de parametrizar. Também escolho a orientação do vetor normal de S com componente z positiva (normal apontando “para cima”), o que determina a orientação positiva de C pela regra da mão direita.

Passo 3

Apresentação e cálculo do rotacional (curl). O Teorema de Stokes usa o rotacional \nabla\times\vec{F}, cuja definição em coordenadas cartesianas é
\nabla\times\vec{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\vec{i}+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\vec{j}+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\vec{k},
onde \vec{F}=(P,Q,R). Aqui P=x^{3}-z, Q=xy e R=y+z^{2}. Calculamos cada derivada parcial:
\frac{\partial R}{\partial y}=1,\qquad \frac{\partial Q}{\partial z}=0,
\frac{\partial P}{\partial z}=-1,\qquad \frac{\partial R}{\partial x}=0,
\frac{\partial Q}{\partial x}=y,\qquad \frac{\partial P}{\partial y}=0.
Substituindo na fórmula do rotacional:
\nabla\times\vec{F}=(1-0)\,\vec{i}+(-1-0)\,\vec{j}+(y-0)\,\vec{k}=\vec{i}-\vec{j}+y\,\vec{k}.

Passo 4

Escrever o elemento de área vetorial da superfície S (superfície dada como gráfico z=g(x,y)=x). Para uma superfície z=g(x,y) a forma do elemento de área vetorial com orientação que tem componente z positiva é
d\vec{S}=(-g_x,-g_y,1)\,dA,
onde dA é o elemento de área no plano xy. No nosso caso g_x=1 e g_y=0, logo
d\vec{S}=(-1,0,1)\,dA.
Esse vetor aponta com componente z positiva, conforme escolhi.

Passo 5

Calcular o produto escalar (\nabla\times\vec{F})\cdot d\vec{S}. Usando \nabla\times\vec{F}=(1,-1,y) e d\vec{S}=(-1,0,1)\,dA,
(\nabla\times\vec{F})\cdot d\vec{S}=(1,-1,y)\cdot(-1,0,1)\,dA = (-1) + 0 + y \,=(-1+y)\,dA.
Portanto, pela fórmula de Stokes,
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot d\vec{S}=\iint_{D}(-1+y)\,dA,
onde D é a projeção de S no plano xy (ou seja, a região no plano xy limitada por C).

Passo 6

Determinar a região D no plano xy. Como C é a interseção de z=x^{2}+y^{2} e z=x, substituindo z=x no paraboloide obtemos
x = x^{2}+y^{2}\quad\Longrightarrow\quad x^{2}-x+y^{2}=0.
Completa-se o quadrado para x:
(x-\tfrac{1}{2})^{2}+y^{2}=\tfrac{1}{4}.
Logo D é o disco de centro (\tfrac{1}{2},0) e raio \tfrac{1}{2} no plano xy.

Passo 7

Parametrizar a região D convenientemente. É natural usar coordenadas polares centradas no centro do disco: defina
u=x-\tfrac{1}{2},\qquad v=y,
e escreva u=r\cos\theta, v=r\sin\theta com 0\le r\le \tfrac{1}{2} e 0\le\theta\le 2\pi. Em termos de r,\theta,
x=r\cos\theta+\tfrac{1}{2},\qquad y=r\sin\theta,
e o Jacobiano é dA=r\,dr\,d\theta.

Passo 8

Calcular a integral dupla. Substituindo y=r\sin\theta e dA=r\,dr\,d\theta em
\iint_{D}(-1+y)\,dA,
temos
\iint_{D}(-1+y)\,dA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1/2}\big(-1+r\sin\theta\big)\,r\,dr\,d\theta.
Expandindo o integrando:
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1/2}\big(-r + r^{2}\sin\theta\big)\,dr\,d\theta.
Calcule a integral interna em r:
\int_{0}^{1/2}(-r)\,dr = -\left[\frac{r^{2}}{2}\right]_{0}^{1/2} = -\frac{1}{8},
\int_{0}^{1/2} r^{2}\,dr = \left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{1/2} = \frac{1}{24},
portanto a integral interna resulta em -\tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{24}\sin\theta. Agora integramos em \theta de 0 a 2\pi:
\int_{0}^{2\pi}\left(-\tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{24}\sin\theta\right)\,d\theta = -\tfrac{1}{8}\cdot 2\pi + \tfrac{1}{24}\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta.
A integral de \sin\theta em um período completo é zero, logo
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} = -\tfrac{1}{8}\cdot 2\pi = -\tfrac{\pi}{4}.

Passo 9

Interpretação final e checagem rápida: o sinal negativo veio do termo constante -1 no produto (\nabla\times\vec{F})\cdot d\vec{S}. A escolha do normal com componente z positiva define a orientação de C (regra da mão direita); se a orientação pedida no enunciado fosse a oposta, o resultado mudaria de sinal. Assumindo a orientação positiva induzida pelo normal escolhido, o valor calculado está correto.

Resposta

-\dfrac{\pi}{4}

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