Use o Teorema de Stokes para calcular
é a curva de interseção do paraboloide
com o plano
.
Passo 1
O enunciado pede a circulação de
ao longo da curva
, onde
A curva
é a interseção do paraboloide
com o plano
.
Informações úteis dadas pelo enunciado:
Informações úteis dadas pelo enunciado:
- A curva
é fechada (interseção de duas superfícies). - As superfícies que definem
são e . - Precisamos do valor de
(a circulação de ao longo de ).
Passo 2
Vamos usar um teorema que troca a integral de linha por uma integral de superfície (o Teorema de Stokes). Para aplicá-lo precisamos escolher uma superfície
cujo contorno seja
. Uma escolha simples é a porção do plano
limitada pela curva
(ou seja, o disco planar que tem fronteira
). Essa escolha é conveniente porque o plano é uma superfície simples e sua projeção no plano
será um disco fácil de parametrizar. Também escolho a orientação do vetor normal de
com componente
positiva (normal apontando “para cima”), o que determina a orientação positiva de
pela regra da mão direita.
Passo 3
Apresentação e cálculo do rotacional (curl). O Teorema de Stokes usa o rotacional
, cuja definição em coordenadas cartesianas é
onde
. Aqui
,
e
. Calculamos cada derivada parcial:
Substituindo na fórmula do rotacional:
Passo 4
Escrever o elemento de área vetorial da superfície
(superfície dada como gráfico
). Para uma superfície
a forma do elemento de área vetorial com orientação que tem componente
positiva é
onde
é o elemento de área no plano
. No nosso caso
e
, logo
Esse vetor aponta com componente
positiva, conforme escolhi.
Passo 5
Calcular o produto escalar
. Usando
e
,
Portanto, pela fórmula de Stokes,
onde
é a projeção de
no plano
(ou seja, a região no plano
limitada por
).
Passo 6
Determinar a região
no plano
. Como
é a interseção de
e
, substituindo
no paraboloide obtemos
Completa-se o quadrado para
:
Logo
é o disco de centro
e raio
no plano
.
Passo 7
Parametrizar a região
convenientemente. É natural usar coordenadas polares centradas no centro do disco: defina
e escreva
,
com
e
. Em termos de
,
e o Jacobiano é
.
Passo 8
Calcular a integral dupla. Substituindo
e
em
temos
Expandindo o integrando:
Calcule a integral interna em
:
portanto a integral interna resulta em
. Agora integramos em
de
a
:
A integral de
em um período completo é zero, logo
Passo 9
Interpretação final e checagem rápida: o sinal negativo veio do termo constante
no produto
. A escolha do normal com componente
positiva define a orientação de
(regra da mão direita); se a orientação pedida no enunciado fosse a oposta, o resultado mudaria de sinal. Assumindo a orientação positiva induzida pelo normal escolhido, o valor calculado está correto.