Use o Teorema de Stokes para calcular
\vec{F}(x, y, z)=y^{2} \vec{i}+x^{2} \vec{j}+z^{2} \vec{k} ; C é a interseção do paraboloide elíptico z= 2 x^{2}+3 y^{2} com o plano 5 x+3 y-z+2=0, percorrida no sentido horário qando vista da origem.

Passo 1

O enunciado dá:
\vec{F}(x,y,z)=y^{2}\,\vec{i}+x^{2}\,\vec{j}+z^{2}\,\vec{k}
e a curva C é a interseção do paraboloide z=2x^{2}+3y^{2} com o plano 5x+3y-z+2=0. A curva C é percorrida no sentido horário quando vista da origem.
O que se pede: calcular a integral de linha \displaystyle\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}.

Passo 2

Vou aplicar o Teorema de Stokes. O Teorema de Stokes diz que, para uma superfície S cujo contorno é C e uma escolha de orientação de S compatível com a orientação de C,
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot \vec{n}\,dS.
Aqui \nabla\times\vec{F} é o rotacional de \vec{F} e \vec{n}\,dS é o elemento vetorial de área da superfície S (vetor normal com magnitude igual à área do elemento). A ideia prática: calculamos \nabla\times\vec{F}, escolhemos uma superfície simples com contorno C (o próprio trecho do plano é conveniente) e integramos o escalar (\nabla\times\vec{F})\cdot \vec{n} sobre essa superfície.

Passo 3

Calculo do rotacional \nabla\times\vec{F}. Lembro a definição:
\nabla\times\vec{F}=\left(\frac{\partial F_{z}}{\partial y}-\frac{\partial F_{y}}{\partial z}\right)\vec{i}+ \left(\frac{\partial F_{x}}{\partial z}-\frac{\partial F_{z}}{\partial x}\right)\vec{j}+ \left(\frac{\partial F_{y}}{\partial x}-\frac{\partial F_{x}}{\partial y}\right)\vec{k}.
Aplicando a \vec{F}=(y^{2},x^{2},z^{2}):
\nabla\times\vec{F}=(0-0)\,\vec{i}+(0-0)\,\vec{j}+(2x-2y)\,\vec{k}=2(x-y)\,\vec{k}.

Passo 4

Escolho S como a parte do plano 5x+3y-z+2=0 delimitada pela curva C. Isto é conveniente porque C está nesse plano e integrar sobre uma região plana é simples. Preciso apenas tomar cuidado com a orientação: a orientação escolhida para \vec{n} deve ser tal que o contorno C seja percorrido no sentido dado (horário visto da origem). Pelo teorema de Stokes, se o observador estiver do lado para o qual \vec{n} aponta, ele verá o contorno no sentido anti-horário (regra da mão direita). Como o enunciado diz que C é percorrida no sentido horário quando vista da origem, devemos escolher \vec{n} que aponte para o lado oposto ao observador na origem, ou seja, \vec{n} deve apontar afastando-se da origem.

Passo 5

Escrevo o plano como gráfico z=g(x,y). Da equação do plano:
5x+3y-z+2=0\quad\Longrightarrow\quad z=g(x,y)=5x+3y+2.
Para uma superfície dada por z=g(x,y), um elemento vetorial de área é
\vec{n}\,dS = (-g_x,-g_y,1)\,dA,
onde dA é o elemento de área na projeção no plano xy e g_x=\partial g/\partial x,\; g_y=\partial g/\partial y. Aqui g_x=5,\; g_y=3, então
\vec{n}\,dS = (-5,-3,1)\,dA.

Passo 6

Agora verifico a orientação relativa à origem: tomo, por exemplo, o ponto (0,0,g(0,0))=(0,0,2) que está no plano. O vetor do ponto até a origem é \vec{v}=(0,0,-2). O produto escalar (5,3,-1)\cdot\vec{v}=2>0, o que mostra que o vetor normal (5,3,-1) tem componente apontando na direção do vetor que vai para a origem — isto é, (5,3,-1) aponta aproximadamente para a origem. Logo o vetor (-5,-3,1) aponta aproximadamente para fora, ou seja, afastando-se da origem. Como queremos que \vec{n} aponte afastando-se da origem (para que visto da origem o contorno seja horário), a escolha \vec{n}\,dS =(-5,-3,1)\,dA está correta.

Passo 7

Calculo o integrando:
(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n} = 2(x-y)\,\vec{k}\cdot(-5,-3,1)=2(x-y)\cdot 1=2(x-y).
Portanto, pela fórmula de Stokes:
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}2(x-y)\,dA,
onde dA é a área na projeção no plano xy e S projeta-se na região D\subset\mathbb{R}^{2} dada pela interseção (obtenho D impondo igualdade dos z das superfícies):
2x^{2}+3y^{2}=5x+3y+2.
Então D é o domínio no plano xy limitado pela curva de equação
2x^{2}-5x+3y^{2}-3y-2=0.

Passo 8

A equação de D é uma elipse; completo quadrados para identificar centro e eixos. Escrevo:
2\bigl(x^{2}-\tfrac{5}{2}x\bigr)+3\bigl(y^{2}-y\bigr)-2=0.
Completo quadrados:
x^{2}-\tfrac{5}{2}x=(x-\tfrac{5}{4})^{2}-\tfrac{25}{16},\qquad y^{2}-y=(y-\tfrac{1}{2})^{2}-\tfrac{1}{4}.
Substituindo:
2(x-\tfrac{5}{4})^{2}+3(y-\tfrac{1}{2})^{2}-\tfrac{47}{8}=0,
ou
2(x-\tfrac{5}{4})^{2}+3(y-\tfrac{1}{2})^{2}=\tfrac{47}{8}.
Dividindo pelos termos do lado direito:
\frac{(x-\tfrac{5}{4})^{2}}{\tfrac{47}{16}}+\frac{(y-\tfrac{1}{2})^{2}}{\tfrac{47}{24}}=1.
Logo a elipse tem centro em \bigl(\tfrac{5}{4},\tfrac{1}{2}\bigr) e semi-eixos
a=\sqrt{\tfrac{47}{16}}=\tfrac{\sqrt{47}}{4},\qquad b=\sqrt{\tfrac{47}{24}}=\tfrac{\sqrt{47}}{2\sqrt{6}}.

Passo 9

Área da elipse D é \text{Area}(D)=\pi a b. Calculo:
\text{Area}(D)=\pi\cdot \frac{\sqrt{47}}{4}\cdot\frac{\sqrt{47}}{2\sqrt{6}} =\pi\cdot\frac{47}{8\sqrt{6}}.
Agora uso a propriedade de centróide: para uma região planar simétrica em torno do seu centro, \iint_{D} x\,dA = x_{\text{centro}}\cdot\text{Area}(D) e \iint_{D} y\,dA = y_{\text{centro}}\cdot\text{Area}(D). Aqui o centro é \bigl(\tfrac{5}{4},\tfrac{1}{2}\bigr). Portanto
\iint_{D}2(x-y)\,dA = 2\bigl(\tfrac{5}{4}-\tfrac{1}{2}\bigr)\text{Area}(D) =2\cdot\tfrac{3}{4}\cdot\text{Area}(D)=\tfrac{3}{2}\,\text{Area}(D).
Substituo a área:
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\tfrac{3}{2}\cdot\pi\cdot\frac{47}{8\sqrt{6}} =\frac{141\pi}{16\sqrt{6}}.
Posso simplificar racionalizando o denominador:
\frac{141\pi}{16\sqrt{6}}=\frac{141\pi\sqrt{6}}{96}=\frac{47\pi\sqrt{6}}{32}.

Resposta

\displaystyle \frac{47\pi\sqrt{6}}{32}

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