Use o Teorema de Stokes para calcular
é a interseção do paraboloide elíptico
com o plano
, percorrida no sentido horário qando vista da origem.
Passo 1
O enunciado dá:
e a curva
é a interseção do paraboloide
com o plano
. A curva
é percorrida no sentido horário quando vista da origem.
O que se pede: calcular a integral de linha .
O que se pede: calcular a integral de linha
Passo 2
Vou aplicar o Teorema de Stokes. O Teorema de Stokes diz que, para uma superfície
cujo contorno é
e uma escolha de orientação de
compatível com a orientação de
,
Aqui
é o rotacional de
e
é o elemento vetorial de área da superfície
(vetor normal com magnitude igual à área do elemento). A ideia prática: calculamos
, escolhemos uma superfície simples com contorno
(o próprio trecho do plano é conveniente) e integramos o escalar
sobre essa superfície.
Passo 3
Calculo do rotacional
. Lembro a definição:
Aplicando a
:
Passo 4
Escolho
como a parte do plano
delimitada pela curva
. Isto é conveniente porque
está nesse plano e integrar sobre uma região plana é simples. Preciso apenas tomar cuidado com a orientação: a orientação escolhida para
deve ser tal que o contorno
seja percorrido no sentido dado (horário visto da origem). Pelo teorema de Stokes, se o observador estiver do lado para o qual
aponta, ele verá o contorno no sentido anti-horário (regra da mão direita). Como o enunciado diz que
é percorrida no sentido horário quando vista da origem, devemos escolher
que aponte para o lado oposto ao observador na origem, ou seja,
deve apontar afastando-se da origem.
Passo 5
Escrevo o plano como gráfico
. Da equação do plano:
Para uma superfície dada por
, um elemento vetorial de área é
onde
é o elemento de área na projeção no plano
e
. Aqui
, então
Passo 6
Agora verifico a orientação relativa à origem: tomo, por exemplo, o ponto
que está no plano. O vetor do ponto até a origem é
. O produto escalar
, o que mostra que o vetor normal
tem componente apontando na direção do vetor que vai para a origem — isto é,
aponta aproximadamente para a origem. Logo o vetor
aponta aproximadamente para fora, ou seja, afastando-se da origem. Como queremos que
aponte afastando-se da origem (para que visto da origem o contorno seja horário), a escolha
está correta.
Passo 7
Calculo o integrando:
Portanto, pela fórmula de Stokes:
onde
é a área na projeção no plano
e
projeta-se na região
dada pela interseção (obtenho
impondo igualdade dos
das superfícies):
Então
é o domínio no plano
limitado pela curva de equação
Passo 8
A equação de
é uma elipse; completo quadrados para identificar centro e eixos. Escrevo:
Completo quadrados:
Substituindo:
ou
Dividindo pelos termos do lado direito:
Logo a elipse tem centro em
e semi-eixos
Passo 9
Área da elipse
é
. Calculo:
Agora uso a propriedade de centróide: para uma região planar simétrica em torno do seu centro,
e
. Aqui o centro é
. Portanto
Substituo a área:
Posso simplificar racionalizando o denominador: