Use o Teorema de Stokes para determinar a integral de linha dada:
, onde
é a interseção do cilindro
com o plano
, orientada no sentido anti-horário;
Passo 1
Vamos usar o Teorema de Stokes, que diz que para um campo vetorial
e uma superfície
com fronteira
, orientadas de acordo com a regra da mão direita, vale
Aqui
Passo 2
Calculemos o rotacional de
:
Como
, então
; e
dá
. Logo o primeiro componente é
.
Ainda dá
e
, daí o segundo é
.
Por fim e
, então o terceiro é
.
Resumindo,
Ainda
Por fim
Resumindo,
Passo 3
Parametrizamos
pelo parâmetero
no disco
:
Os vetores tangentes são
e
.
O vetor área orientado é
O vetor área orientado é
Passo 4
Pelo Teorema de Stokes:
Substituindo o rotacional e o vetor área:
Então a integral de superfície é
o que equivale à área do disco
de raio 1.
Passo 5
O disco
tem área
. Portanto