Use o Teorema de Stokes para determinar a integral de linha dada:
ointC(y d x+(x+y+2 z) d y+(x+2 y) d z), onde C é a interseção do cilindro x^2+y^2=1 com o plano z=y, orientada no sentido anti-horário;

Passo 1

Vamos usar o Teorema de Stokes, que diz que para um campo vetorial F=(P,Q,R) e uma superfície S com fronteira C=partial S, orientadas de acordo com a regra da mão direita, vale
ointC P,dx+Q,dy+R,dz=integral duplaS(nablatimes F)cdot d S
Aqui F=(y,,x+y+2z,,x+2y), e C é a curva em que o cilindro x^2+y^2=1 corta o plano z=y, orientada no sentido anti-horário (vista de cima). Precisamos calcular nablatimes F, escolher uma superfície S no plano z=y cujo contorno seja C, obter seu vetor área d S e integrar.

Passo 2

Calculemos o rotacional de F:
nablatimes F=l(partial Rpartial y-partial Qpartial z,;partial Ppartial z-partial Rpartial x,;partial Qpartial x-partial Ppartial yr)
Como
R=x+2y, então Ry=2; e Q=x+y+2z Qz=2. Logo o primeiro componente é 2-2=0.
Ainda P=y Pz=0 e Rx=1, daí o segundo é 0-1=-1.
Por fim Qx=1 e Py=1, então o terceiro é 1-1=0.
Resumindo, nablatimes F=(0,-1,0)

Passo 3

Parametrizamos S pelo parâmetero (x,y) no disco x^2+y^2<=1:
r(x,y)=(x,,y,,y),(x,y)in D: x^2+y^2<=1
Os vetores tangentes são
rx=(1,0,0) e ry=(0,1,1).
O vetor área orientado é
rxtimes ry=(0,-1,1)

Passo 4

Pelo Teorema de Stokes:
ointC Fcdot d r=integral duplaS(nablatimes F)cdot( rxtimes ry),dA
Substituindo o rotacional e o vetor área:
(0,-1,0)cdot(0,-1,1)=1
Então a integral de superfície é
integral duplaD1,dA,
o que equivale à área do disco D de raio 1.

Passo 5

O disco D tem área picdot1^2=pi. Portanto
ointC(y,dx+(x+y+2z),dy+(x+2y),dz)=pi

Resposta

pi

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