Verifique se cada função
abaixo é bijetora. Em caso afirmativo, determine
. Caso
não seja bijetora, faça restrições no domínio e/ou contradomínio da função para que
se torne bijetora e determine a inversa de
nesta situação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a função $ f $ é bijetora. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de injeção e sobrenjeção, que juntos formam a bijetividade. Se a função for bijetora, também devemos encontrar a sua inversa $ f^{-1} $. Caso contrário, vamos restringir o domínio e/ou contradomínio para que ela se torne bijetora e então determinar a inversa nessa nova situação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função bijeção. Uma função é bijetora se ela for injetora (cada elemento do domínio mapeia para um único elemento no contradomínio) e sobrenjetora (todo elemento do contradomínio é atingido por algum elemento do domínio).
Nossa função é $ f: \mathbb{R} \rightarrow (0, +\infty) $, definida por $ f(x) = e^{x-1} $.
Passo 3
Vamos verificar se $ f $ é injetora. Uma função exponencial, como $ e^{x} $, é sempre estritamente crescente, o que significa que se $ x_1 < x_2 $, então $ e^{x_1} < e^{x_2} $. Portanto, não existem dois valores diferentes de $ x $ que resultem no mesmo valor de $ f(x) $. Assim, $ f $ é injetora.
Passo 4
Agora, vamos verificar se $ f $ é sobrejetora no seu contradomínio $ (0, +\infty) $. A função exponencial $ e^{x-1} $ sempre produz valores positivos para qualquer $ x \in \mathbb{R} $, e todos os valores positivos podem ser alcançados variando $ x $. Ou seja, para qualquer $ y > 0 $, existe um $ x $ tal que $ y = e^{x-1} $. Portanto, $ f $ é sobrenjetora.
Passo 5
Como $ f $ é tanto injetora quanto sobrejetora, concluímos que $ f $ é bijetora. Agora, vamos encontrar a função inversa $ f^{-1} $.
Passo 6
Para encontrar a inversa, seguimos estes passos:
- Começamos com $ y = e^{x-1} $.
- Tiramos o logaritmo natural dos dois lados para desfazer a exponenciação: $ \ln(y) = x - 1 $.
- Isolamos $ x $: $ x = \ln(y) + 1 $.
Portanto, a função inversa é $ f^{-1}(y) = \ln(y) + 1 $.
Resposta
A função $ f $ é bijetora e sua inversa é $ f^{-1}(y) = \ln(y) + 1 $.