Verifique se cada função
abaixo é bijetora. Em caso afirmativo, determine
. Caso
não seja bijetora, faça restrições no domínio e/ou contradomínio da função para que
se torne bijetora e determine a inversa de
nesta situação.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a função
dada por (f(x)=\cot x. O assunto é verificar bijeção e, se ela existir, achar a inversa; caso contrário, restringir domínio/contradomínio para obter bijeção.
Passo 2
Verificando injetividade: a cotangente é periódica de período
, pois vale
Logo existem
Passo 3
Verificando sobrejetividade: em cada intervalo
,
é contínua e estritamente decrescente, com
$$\lim_{x\to k\pi^+}\cot x=+\infty\quade\quad\lim_{x\to (k+1)\pi^-}\cot x=-\infty
$$
Portanto, em cada pedaço atinge todos os valores reais e
é sobrejetora.
Portanto, em cada pedaço
Passo 4
Conclusão e restrição: como
não é injetora no domínio original, restringimos o domínio a um intervalo de comprimento
onde ela seja monotônica e cubra
. Uma escolha natural é
, mantendo o contradomínio
.
Passo 5
Na função restrita
,
é estritamente decrescente e sobrejetora, logo bijetora. A inversa satisfaz
e é dada por
com
Resposta
A função não é bijetora no domínio original. Restringindo o domínio a
e mantendo o contradomínio
, obtemos bijeção e
com