Verifique se cada função f abaixo é bijetora. Em caso afirmativo, determine f^-1. Caso f não seja bijetora, faça restrições no domínio e/ou contradomínio da função para que f se torne bijetora e determine a inversa de f nesta situação.
f: R-k pi, k in R R, x mapsto cotg x

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função f:Rsetminuskpi:kinZtoR dada por (f(x)=\cot x. O assunto é verificar bijeção e, se ela existir, achar a inversa; caso contrário, restringir domínio/contradomínio para obter bijeção.

Passo 2

Verificando injetividade: a cotangente é periódica de período pi, pois vale
cot(x+pi)=cot x
Logo existem xneq y tais que f(x)=f(y) (por exemplo y=x+pi), então f não é injetora.

Passo 3

Verificando sobrejetividade: em cada intervalo (kpi,(k+1)pi), cot x é contínua e estritamente decrescente, com
$$\lim_{x\to k\pi^+}\cot x=+\infty\quade\quad\lim_{x\to (k+1)\pi^-}\cot x=-\infty
$$
Portanto, em cada pedaço limxto kpi^+cot x=+inftyelimxto (k+1)pi^-cot x=-infty atinge todos os valores reais e cot x é sobrejetora.

Passo 4

Conclusão e restrição: como f não é injetora no domínio original, restringimos o domínio a um intervalo de comprimento pi onde ela seja monotônica e cubra R. Uma escolha natural é
D=(0,pi), mantendo o contradomínio R.

Passo 5

Na função restrita f:(0,pi)toR, cot x é estritamente decrescente e sobrejetora, logo bijetora. A inversa satisfaz cot(f^-1(y))=y e é dada por
f^-1(y)=arccot(y), yinR,
com arccot(y)in(0,pi).

Resposta

A função não é bijetora no domínio original. Restringindo o domínio a (0,pi) e mantendo o contradomínio R, obtemos bijeção e
f^-1(y)=arccot(y), yinR,
com arccot(y)in(0,pi).

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