em que F=(y,-x, y x^3) e S é a porção da esfera de raio 4 com z >= 0
a) 64 pi
b) 32 pi
c) 8 pi
d) 4 pi
e) 128 pi.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para usarmos o Teorema de Stokes para encontrar o valor de
|integral duplaS rot(F) cdot d S|
onde F = (y, -x, y x^3) e S é a porção da esfera de raio 4 com z >= 0. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Stokes, calcular o rotacional da função vetorial F e integrar sobre a superfície S.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial F sobre uma superfície S com a integral de linha de F ao longo da borda de S, denotada por partial S. A fórmula é:
integral duplaS rot(F) cdot d S = ointpartial S F cdot dr
No nosso caso, vamos calcular o rotacional de F e depois integrar sobre a superfície da esfera.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de F. A função vetorial é F = (y, -x, y x^3). O rotacional de F é dado por:
rot(F) = nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y )
Calculando cada componente:
partial Fzpartial y = partial (y x^3)partial y = x^3
partial Fypartial z = partial (-x)partial z = 0
partial Fxpartial z = partial ypartial z = 0
partial Fzpartial x = partial (y x^3)partial x = 3 y x^2
partial Fypartial x = partial (-x)partial x = -1
partial Fxpartial y = partial ypartial y = 1
Então,
rot(F) = (x^3 - 0, 0 - 3 y x^2, -1 - 1) = (x^3, -3 y x^2, -2)
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Teorema de Stokes. Já que a superfície S é a porção da esfera de raio 4 com z >= 0, sua borda partial S é o círculo de raio 4 no plano z = 0.
Para simplificar a integral, vamos usar coordenadas polares no plano z = 0. A parametrização da curva partial S é:
r(theta) = (4 cos theta, 4 sin theta, 0), theta in [0, 2pi]
O diferencial de trajetória é:
dr = (-4 sin theta, 4 cos theta, 0) dtheta
Passo 5
Vamos calcular a integral de linha ointpartial S F cdot dr.
Primeiro, substituímos F na curva partial S:
F(r(theta)) = (4 sin theta, -4 cos theta, (4 sin theta)(4 cos theta)^3) = (4 sin theta, -4 cos theta, 256 sin theta cos^3 theta)
Agora, fazemos o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = 4 sin theta cdot (-4 sin theta) + (-4 cos theta) cdot (4 cos theta) + 256 sin theta cos^3 theta cdot 0 = -16 sin^2 theta - 16 cos^2 theta
Simplificando:
F cdot dr = -16 (sin^2 theta + cos^2 theta) = -16
Passo 6
Agora, integramos sobre theta de 0 a 2pi:
ointpartial S F cdot dr = integral0^2pi (-16) dtheta = -16 times 2pi = -32pi
Como o enunciado pede o valor absoluto da integral, temos: