Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial e esboce o gráfico da solução
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial para a equação diferencial
y'' + y = 1, & 0 <= t < pi/2, 0, & t >= pi/2,
com condições y(0)=0 e y'(0)=1. Vamos resolver em duas etapas: primeiro para 0<= t<pi/2 (forçamento constante) e depois para t>=pi/2 (equação homogênea), aplicando continuidade de y e y' em t=pi/2.
Passo 2
No intervalo 0<= t<pi/2 a equação é ,y''+y=1. A solução geral é a soma da homogênea
yh(t)=Acos t + Bsin t
com uma particular constante yp=1. Logo,
y1(t) = Acos t + Bsin t + 1
Passo 3
Aplicando as condições iniciais em t=0:
y1(0)=Acdot1 + Bcdot0 +1 =0 Rightarrow A=-1,
y1'(t)=-Asin t + Bcos t implies y1'(0)=B=1
Assim A=-1 e B=1, ou seja
y1(t) = -cos t + sin t + 1
Passo 4
Em t=pi/2 obtemos os valores para emenda:
y1(pi/2) = -cos(pi/2)+sin(pi/2)+1 = 2,
y1'(pi/2) = sin(pi/2)+cos(pi/2) = 1
Passo 5
Para t>=pi/2 a equação é homogênea ,y''+y=0, com solução
y2(t) = Ccos t + Dsin t
Impondo continuidade em t=pi/2:
y2(pi/2)=D=2,
y2'(t)=-Csin t + Dcos t implies y2'(pi/2)=-C=1 ;Rightarrow; C=-1
Logo
y2(t) = -cos t + 2sin t
Passo 6
A solução completa emenda as duas peças:
y(t) = -cos t + sin t + 1, & 0 <= t < pi/2, -cos t + 2sin t, & t >= pi/2
No primeiro trecho y cresce de 0 até 2 em t=pi/2, e daí em diante oscila livremente com frequência 1 e amplitude raiz(-1)^2+2^2=raiz5.
Resposta
y(t) = -cos t + sin t + 1, & 0 <= t < pi/2, -cos t + 2sin t, & t >= pi/2