Use o teste da integral para determinar a convergência ou não das séries a seguir.
sumk=1^infty 12 k+1

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
sumk=1^infty12k+1
usando o teste da integral, que exige definir uma função contínua, positiva e decrescente em [1,infty) cujo valor em inteiros seja o termo geral da série.

Passo 2

Definimos
f(x) = 12x+1
Note que para x>=1 temos 2x+1>0, logo f(x)>0. Derivando,
f'(x) = -2(2x+1)^2 < 0,
o que mostra que f é decrescente. Assim, podemos aplicar o teste da integral.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria
integral1^infty 12x+1,dx
Usando a substituição u=2x+1, du=2,dx, obtemos
integral1^infty 12x+1,dx = 12 integralu=3^utoinfty 1u,du = 12 l[ln ur]3^infty = 12l(limutoinftyln u - ln 3r) = infty
Como essa integral diverge, o teste da integral conclui que a série também diverge.

Resposta

A série sumk=1^infty12k+1 diverge.

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