Use o Teorema do Valor Intermediário (T.V.I.) para mostrar que existe uma solução para a equação dada, no intervalo especificado.
cos x-x=0; intervalo (0,1).

Passo 1

Resumindo, queremos mostrar que a equação
cos x - x = 0
tem pelo menos uma solução em (0,1). O conteúdo envolve o Teorema do Valor Intermediário (T.V.I.) e o fato de que soma, diferença e composição de funções contínuas são contínuas.

Passo 2

Definimos a função
Sabemos que e são contínuas em . Logo, a diferença

é contínua em todo , em particular em .

Passo 3

Calculamos os valores de f nos extremos do intervalo:
f(0) = cos 0 - 0 = 1 > 0,
f(1) = cos 1 - 1 approx 0,5403 - 1 = -0,4597 < 0
Dessa forma, f(0) e f(1) têm sinais opostos.

Passo 4

Pelo Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua em [0,1] assume valores de sinais opostos em 0 e 1, então existe cin(0,1) tal que f(c)=0. Portanto, existe pelo menos uma solução de
cos x - x = 0
no intervalo (0,1).

Resposta

Existe pelo menos uma cin(0,1) que satisfaz cos c - c = 0.

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