Encontre o domínio da função.
phi(x)=raizxpi-x

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
phi(x)=raizxpi - x
Isso envolve encontrar todos os xinR tais que o que está dentro da raiz quadrada seja bem-definido e não-negativo.

Passo 2

Para que a expressão dentro da raiz esteja definida e real, precisamos de duas condições:
1. O denominador não pode ser zero, isto é,
pi - x neq 0Longrightarrow x neq pi
2. A fração deve ser maior ou igual a zero (já que é argumento de raiz quadrada), ou seja,
xpi - x >= 0

Passo 3

Resolvendo a inequação
xpi - x >= 0,
os pontos críticos são x=0 (numerador zero) e x=pi (denominador zero). Fazendo o estudo de sinais em cada intervalo:
  • Para x<0: numerador <0, denominador pi - x>0 Rightarrow fração <0.
  • Para 0<x<pi: numerador >0, denominador >0 Rightarrow fração >0.
  • Para x>pi: numerador >0, denominador <0 Rightarrow fração <0.
Na igualdade, em x=0 a fração vale zero e raiz0=0 é permitido; em x=pi a fração é indefinida.

Passo 4

Concluímos que a única região em que tfracxpi - x>=0 e pi-xneq0 é
0 <= x < pi

Resposta

O domínio de phi é [0,pi).

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