1. Verifique as condições do Teorema do Valor Médio para a função f(x)=\sin (x) no intervalo [0, \pi]. Encontre o(s) valor(es) de c no intervalo ( 0, \pi ) que satisfazem a conclusão do teorema.

Passo 1

O enunciado pede para verificar as hipóteses do Teorema do Valor Médio para a função f(x)=\sin(x) no intervalo [0,\pi] e depois encontrar os valores de c\in(0,\pi) tais que
f'\text{(c)}=\frac{f(\pi)-f(0)}{\pi-0}.

Passo 2

Verificamos as hipóteses do Teorema do Valor Médio:
f(x)=\sin(x) é contínua em [0,\pi], pois seno é contínuo em \mathbb{R}.
f(x)=\sin(x) é diferenciável em (0,\pi), pois seno é diferenciável em \mathbb{R}.
Portanto, as condições estão satisfeitas.

Passo 3

Calculamos a taxa média de variação de f em [0,\pi]:
\frac{f(\pi)-f(0)}{\pi-0} =\frac{\sin(\pi)-\sin(0)}{\pi} =\frac{0-0}{\pi} =0.

Passo 4

O Teorema do Valor Médio garante que existe c\in(0,\pi) tal que
f'\text{(c)}=0.
Como f'(x)=\cos(x), devemos resolver
\cos\text{(c)}=0.

Passo 5

A equação \cos\text{(c)}=0 em (0,\pi) tem a única solução
c=\frac{\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle c=\frac{\pi}{2}.

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