Use o Teorema do Valor Médio para provar as seguintes desigualdades:
para todos
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para todos
,
usando o Teorema do Valor Médio. Vamos aplicar esse teorema à função
definida e diferenciável em
.
Passo 2
Pelo Teorema do Valor Médio, existe
tal que
Como
temos
Passo 3
Resta mostrar que, para todo
,
Considere a função
Temos
que se anula em
. Como
para
e
para
,
atinge seu máximo em
, valendo
Logo, para todo
,
Passo 4
Substituindo esse majorante em
obtemos
que é exatamente a desigualdade desejada.
Resposta
A desigualdade está provada.