Use o Teorema do Valor Médio para provar as seguintes desigualdades:
(ln b)^2-(ln a)^2 <= 2e(b-a) para todos 1 <= a<b.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para todos 1<= a<b,
(ln b)^2 - (ln a)^2 <= 2e,(b-a),
usando o Teorema do Valor Médio. Vamos aplicar esse teorema à função
f(x) = (ln x)^2,
definida e diferenciável em [a,b].

Passo 2

Pelo Teorema do Valor Médio, existe cin(a,b) tal que
f(b)-f(a) = f'(c),(b-a)
Como
f'(x) = ddxl[(ln x)^2r] = 2,ln x;1x = 2ln xx,
temos
(ln b)^2 - (ln a)^2 = f(b)-f(a) = 2ln cc,(b-a)

Passo 3

Resta mostrar que, para todo c>1,
2ln cc <= 2e
Considere a função
g(x) = ln xx, x>0
Temos
g'(x) = 1xcdot x - ln xcdot1x^2 = 1-ln xx^2,
que se anula em x=e. Como g'(x)>0 para 1<x<e e g'(x)<0 para x>e, g atinge seu máximo em x=e, valendo
g(e) = ln ee = 1e
Logo, para todo c>1,
ln cc <= 1e Longrightarrow 2ln cc <= 2e

Passo 4

Substituindo esse majorante em
(ln b)^2 - (ln a)^2 = 2ln cc,(b-a),
obtemos
(ln b)^2 - (ln a)^2 <= 2e,(b-a),
que é exatamente a desigualdade desejada.

Resposta

A desigualdade está provada.

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