Dados F(x, y, z)=0, tal que f(x, y), calcule implicitamente as derivadas
(a) F=x^2+2 y^3+x y z-1, partial zpartial x e partial zpartial y
(b) F=z e^x y, partial zpartial x e partial zpartial y
(c) F=z^2 * ln (x y), partial zpartial x e partial zpartial y

Passo 1

O enunciado dá uma curva de nível definida por F(x,y,z)=0, de modo que z pode ser visto como função implícita de x e y. O conteúdo é diferenciação implícita (regra da cadeia): sempre que F(x,y,z(x,y))=0, temos relacionamentos entre as derivadas parciais de F e de z.

Passo 2

Diferenciando implicitamente em relação a x e a y e usando a regra da cadeia, obtemos
partial Fpartial x + partial Fpartial z,partial zpartial x=0 Longrightarrow partial zpartial x=-FxFz,
partial Fpartial y + partial Fpartial z,partial zpartial y=0 Longrightarrow partial zpartial y=-FyFz

Passo 3

(a) Para
F = x^2 + 2y^3 + x y z - 1,
calculamos as derivadas parciais de F:
Fx = 2x + y,z, Fy = 6y^2 + x,z, Fz = x,y
Logo
partial zpartial x =-2x + y zx y, partial zpartial y =-6y^2 + x zx y

Passo 4

(b) Para
F = z,e^x y,
temos
Fx = y,z,e^x y, Fy = x,z,e^x y, Fz = e^x y
Logo
partial zpartial x =-y,z,e^x ye^x y =-y,z, partial zpartial y =-x,z,e^x ye^x y =-x,z

Passo 5

(c) Para
F = z^2,ln(xy),
obtém-se
Fx = z^2,1x, Fy = z^2,1y, Fz = 2z,ln(xy)
Portanto
partial zpartial x =-z^2,1x2z,ln(xy) =-z2,x,ln(xy), partial zpartial y =-z^2,1y2z,ln(xy) =-z2,y,ln(xy)

Resposta

(a) partial zpartial x=-2x+y,zx y, partial zpartial y=-6y^2+x,zx y
(b) partial zpartial x=-y,z, partial zpartial y=-x,z
(c) partial zpartial x=-z2,x,ln(xy), partial zpartial y=-z2,y,ln(xy)

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