Use o Teste de Comparação no Limite:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{n^{4}+2}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{n^{4}+2}
usando o Teste de Comparação no Limite. O conteúdo a ser usado é a comparação com uma série- p conhecida.

Passo 2

Escolhemos como série comparadora \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}},
que é uma série- p com p=2>1 e, portanto, converge.

Passo 3

Definimos
a_{n} = \frac{n^{2}+1}{n^{4}+2}, \quad b_{n} = \frac{1}{n^{2}}
e calculamos o limite
L = \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{n^{2}+1}{n^{4}+2}}{\frac{1}{n^{2}}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^{2}(n^{2}+1)}{n^{4}+2} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^{4}+n^{2}}{n^{4}+2} = 1.

Passo 4

Como 0 < L < \infty e a série comparadora \sum 1/n^{2} converge, o Teste de Comparação no Limite garante que a série original também converge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{n^{4}+2} converge.

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