Utilize a regra da cadeia para determinar partial zpartial s e partial zpartial t.
z=e^x+2 y, x=st, y=ts;

Passo 1

O enunciado pede para usar a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais partial zpartial s e partial zpartial t, sabendo que z=e^x+2y, x=st e y=ts. O conteúdo envolvido é derivação de função composta em várias variáveis e vamos precisar das derivadas parciais de z em relação a x e y e das derivadas de x e y em relação a s e t.

Passo 2

Começamos encontrando as derivadas parciais de z em relação a x e y. Como z=e^x+2y e a derivada de e^u em relação a u é e^u, temos
partial zpartial x = e^x+2y
partial zpartial y = 2e^x+2y

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de x e y em relação a s e t. Como x = st, temos
partial xpartial s = 1t, partial xpartial t = -st^2
e como y = ts,
partial ypartial t = 1s, partial ypartial s = -ts^2

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia para partial zpartial s:
partial zpartial s = partial zpartial xpartial xpartial s + partial zpartial ypartial ypartial s = e^x+2ycdot1t + 2e^x+2ycdotl(-ts^2r) = e^x+2yl(1t - 2ts^2r)
De modo análogo, para partial zpartial t temos:
partial zpartial t = partial zpartial xpartial xpartial t + partial zpartial ypartial ypartial t = e^x+2ycdotl(-st^2r) + 2e^x+2ycdot1s = e^x+2yl(-st^2 + 2sr)

Passo 5

Substituindo agora x=tfracst e y=tfracts, escrevemos as derivadas finais apenas em termos de s e t.

Resposta

partial zpartial s = e^st+2tsl(1t-2ts^2r),
partial zpartial t = e^st+2tsl(-st^2+2sr)

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