Em cada um dos Problemas de 7 a 10:
(a) Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
x^prime=(rr3 & 9 -1 & -3) x, x(0)=binom24

Passo 1

Vamos resumir o que temos: é um sistema linear de EDOs com matriz de coeficientes constante A=3 & 9-1 & -3 e condição inicial x(0)=binom24. O conteúdo é solução de sistemas x'=A x via matriz exponencial e propriedades de matrizes nilpotentes.

Passo 2

Vamos analisar A: o traço é tr(A)=3+(-3)=0 e o determinante é det(A)=3cdot(-3)-9cdot(-1)=0. Isso indica que os autovalores são 0 com multiplicidade 2, e a matriz provavelmente é nilpotente.

Passo 3

Para confirmar a nilpotência, calculamos A^2:
A^2=3 & 9-1 & -3^2 = 0 & 00 & 0
Como A^2=0, a série de Taylor da exponencial para e^At para por aí, gerando
e^At=I + At

Passo 4

Agora aplicamos e^At ao vetor inicial:
x(t)=e^Atx(0)=(I+At)binom24=binom24+t,Abinom24
Calculando Abinom24=binom3cdot2+9cdot4-1cdot2-3cdot4=binom42-14.

Passo 5

Logo a solução fica
x(t)=binom24 + tbinom42-14 = binom2+42t4-14t

Resposta

x(t)=binom2+42t4-14t

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