(a) Use o Teste da Comparação Direta para mostrar que a primeira série converge, comparando-a com a segunda série.
sumn=2^infty nn^3+5 sumn=2^infty 1n^2
(b) Use o Teste da Comparação no Limite para mostrar que a primeira série converge, comparando-a com a segunda série.
sumn=2^infty nn^3-5 sumn=2^infty 1n^2

Passo 1

Neste exercício temos duas partes: (a) mostrar que a série sumn=2^infty nn^3+5 converge usando o Teste da Comparação Direta com a série p sumn=2^infty 1n^2; (b) mostrar que a série sumn=2^infty nn^3-5 converge usando o Teste da Comparação no Limite também com sumn=2^infty 1n^2. Vamos usar o fato de que a série p com p=2>1 converge e os enunciados dos testes de comparação.

Passo 2

Para a parte (a), note que para todo n>=2 valem as desigualdades
n^3 + 5 >= n^3
e portanto
0 <= nn^3 + 5 <= nn^3 = 1n^2
Como sumn=2^infty 1n^2 é uma série p com p=2>1 que converge, o Teste da Comparação Direta garante que
sumn=2^infty nn^3+5 também converge.

Passo 3

Para a parte (b), aplicamos o Teste da Comparação no Limite. Definimos
an = nn^3 - 5, bn = 1n^2
Como ambos são positivos, calculamos
L = limntoinfty anbn = limntoinfty n/(n^3-5)1/n^2 = limntoinfty n^3n^3 - 5 = 1
O limite L=1 é finito e não nulo, e sabemos que sum bn = sum 1/n^2 converge. Logo, pelo Teste da Comparação no Limite, sum an = sum nn^3-5 também converge.

Resposta

Ambas as séries convergem.

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