(a) Use o Teste da Comparação Direta para mostrar que a primeira série converge, comparando-a com a segunda série.
(b) Use o Teste da Comparação no Limite para mostrar que a primeira série converge, comparando-a com a segunda série.
Passo 1
Neste exercício temos duas partes: (a) mostrar que a série
converge usando o Teste da Comparação Direta com a série p
; (b) mostrar que a série
converge usando o Teste da Comparação no Limite também com
. Vamos usar o fato de que a série p com
converge e os enunciados dos testes de comparação.
Passo 2
Para a parte (a), note que para todo
valem as desigualdades
e portanto
Como
é uma série p com
que converge, o Teste da Comparação Direta garante que
também converge.
Passo 3
Para a parte (b), aplicamos o Teste da Comparação no Limite. Definimos
Como ambos são positivos, calculamos
O limite
é finito e não nulo, e sabemos que
converge. Logo, pelo Teste da Comparação no Limite,
também converge.
Resposta
Ambas as séries convergem.