Use o Teste de Comparação no Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty 16^n-3

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série sumn=1^infty 16^n - 3 usando o Teste de Comparação no Limite. Vamos usar como referência a série geométrica sum 1/6^n, já que sabemos que ela converge por ter razão |1/6|<1.

Passo 2

Definimos an = 16^n - 3 e escolhemos bn = 16^n. Observamos que para todo n grande ambas são positivas, condição essencial para aplicar o teste.

Passo 3

Calculamos o limite de comparação: limntoinfty anbn = limntoinfty 1/(6^n - 3)1/6^n = limntoinfty 6^n6^n - 3 = 1

Passo 4

O limite é um número finito e estritamente positivo, então pelo Teste de Comparação no Limite a série sum an converge se e somente se sum bn converge. Como sum bn = sum 1/6^n é convergente, concluímos que sum an também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 16^n - 3 converge por comparação com a série geométrica sum 1/6^n.

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