Use o Teste da Comparação no Limite para mostrar que a primeira série diverge, comparando-a com a segunda série.
sumn=2^infty n^2-nn^3+2 sumn=2^infty 1n

Passo 1

Temos a série sumn=2^infty n^2-nn^3+2 e a série harmônica de comparação sumn=2^infty 1n. O conteúdo aqui é o Teste da Comparação no Limite, que diz que, se an e bn são termos positivos e limntoinfty an/bn=L com 0, então as duas séries têm o mesmo comportamento (convergem ou divergem).

Passo 2

Definimos os termos gerais: an=n^2-nn^3+2 e bn=1n. Note que para n>=2 ambos são positivos, então podemos aplicar o teste.

Passo 3

Vamos calcular o limite
limntoinftyanbn=limntoinftyn^2-nn^3+21n=limntoinftyn^2-nn^3+2cdot n=limntoinftyn^3-n^2n^3+2

Passo 4

Para simplificar, dividimos numerador e denominador por n^3:
n^3-n^2n^3+2=1-1n1+2n^3xrightarrow[ntoinfty]1

Passo 5

O limite deu L=1, que é um número finito e positivo. Pelo Teste da Comparação no Limite, como sum bn=sum1n diverge (série harmônica), concluímos que sum an=sumn^2-nn^3+2 também diverge.

Resposta

A série sumn=2^inftyn^2-nn^3+2 diverge.

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