Use a transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial.
y^prime+10 y=x^2, y(0)=0

Passo 1

O problema pede para resolver a EDO de primeira ordem não homogênea y'(x) + 10y(x) = x^2 com condição inicial y(0)=0 usando transformada de Laplace. Vamos precisar das fórmulas de transformada de Laplace para derivada e para potências de x, além de saber inverter transformadas via frações parciais.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Denotando Y(s) = Ly(x), temos:
Ly'(x) + 10,Ly(x) = Lx^2

Passo 3

Usando Ly'(x) = sY(s) - y(0), y(0)=0, e Lx^2 = 2/s^3, obtemos
sY(s) + 10Y(s) = 2s^3 Longrightarrow Y(s)(s+10) = 2s^3 Longrightarrow Y(s) = 2s^3(s+10)

Passo 4

Para inverter Y(s) fazemos frações parciais: Escrevemos
$$\frac{2}{s^3(s+10)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s^2} + \frac{C}{s^3} + \frac{D}{s+10}.
$$Multiplicando por 2s^3(s+10) = As + Bs^2 + Cs^3 + Ds+10 e igualando coeficientes:
s^3(s+10)que ao expandir dá
2 = A s^2(s+10) + B s(s+10) + C(s+10) + D s^3,Igualando aos coeficientes do polinômio constante 2 = (A+D)s^3 + (10A+B)s^2 + (10B+C)s + 10C:
2resolvendo:
$$C = \tfrac{1}{5},\quad B = -\tfrac{1}{50},\quad A = \tfrac{1}{500},\quad D = -\tfrac{1}{500}.
$$

Passo 5

Logo
$$Y(s) = \frac{1/500}{s} - \frac{1/50}{s^2} + \frac{1/5}{s^3} - \frac{1/500}{s+10}.
$$Invertendo cada termo via transformada inversa:
$$y(x) = \frac{1}{500} - \frac{1}{50}x + \frac{1}{5}\cdot\frac{x^2}{2} - \frac{1}{500}e^{-10x}.
$$Simplificando o termo de Y(s) = 1/500s - 1/50s^2 + 1/5s^3 - 1/500s+10 :
$$y(x) = \frac{1}{500} - \frac{x}{50} + \frac{x^2}{10} - \frac{1}{500}e^{-10x}.
$$

Resposta

y(x) = 1500 - x50 + x^210 - 1500e^-10x

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