Use a transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y’’ + 4y’ + 4y = 0,
y(0) = 1,
y’(0) = 1
usando a transformada de Laplace. Vamos precisar das propriedades
e
a fim de transformar a EDO em uma equação algébrica em
.
Passo 2
Aplicando a transformada de Laplace em cada termo e substituindo
e
:
ou seja,
Agora somamos e agrupamos em
.
Passo 3
Simplificando a expressão:
ou seja,
Logo,
Para inverter, decompomos:
então
Passo 4
Aplicando a transformada inversa de Laplace e usando
e
com
, obtemos
Resposta
y(t) = e^{-2t}(1 + 3t)