Use a transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial.
y^prime prime+4 y^prime+4 y=0, y^prime(0)=y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y’’ + 4y’ + 4y = 0,
y(0) = 1,
y’(0) = 1
usando a transformada de Laplace. Vamos precisar das propriedades
Ly'(t) = sY(s) - y(0)
e
Ly''(t) = s^2Y(s) - s,y(0) - y'(0),
a fim de transformar a EDO em uma equação algébrica em Y(s).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em cada termo e substituindo y(0)=1 e y'(0)=1:
Ly'' + 4,Ly' + 4,Ly = 0
ou seja,
l(s^2Y - scdot1 - 1r) + 4l(sY - 1r) + 4Y = 0
Agora somamos e agrupamos em Y(s).

Passo 3

Simplificando a expressão:
(s^2 + 4s + 4),Y(s) - (s + 1 + 4) = 0
ou seja,
(s^2 + 4s + 4),Y(s) - (s + 5) = 0
Logo,
Y(s) = s + 5s^2 + 4s + 4 = s + 5(s + 2)^2
Para inverter, decompomos:
s + 5 = (s + 2) + 3
então
Y(s) = s + 2(s + 2)^2 + 3(s + 2)^2 = 1s + 2 + 3(s + 2)^2

Passo 4

Aplicando a transformada inversa de Laplace e usando
L^-11/(s - a) = e^at
e
L^-11/(s - a)^2 = t e^at,
com a = -2, obtemos
y(t) = e^-2t + 3t,e^-2t = e^-2t(1 + 3t)

Resposta

y(t) = e^{-2t}(1 + 3t)

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