Use a transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial.
Passo 1
O problema dado é um valor inicial para uma EDO de primeira ordem:
y′+y=e^{−x}, com y(0)=1. O conteúdo principal aqui é o uso da transformada de Laplace para resolver EDOs lineares. Vamos precisar da definição da transformada de Laplace, da propriedade da transformada de derivadas e da tabela básica de transformadas inversas.
y′+y=e^{−x}, com y(0)=1. O conteúdo principal aqui é o uso da transformada de Laplace para resolver EDOs lineares. Vamos precisar da definição da transformada de Laplace, da propriedade da transformada de derivadas e da tabela básica de transformadas inversas.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Para a derivada usamos a propriedade
, para y temos
e para
conhecemos
.
Passo 3
Montamos a equação algébrica em
-espaço:
Passo 4
Agora agrupamos
e isolamos:
Passo 5
Em seguida, usamos a transformada inversa de Laplace. Sabemos que
e
. Portanto: