Use a transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial.
y^prime+y=e^-x, y(0)=1

Passo 1

O problema dado é um valor inicial para uma EDO de primeira ordem:
y′+y=e^{−x}, com y(0)=1. O conteúdo principal aqui é o uso da transformada de Laplace para resolver EDOs lineares. Vamos precisar da definição da transformada de Laplace, da propriedade da transformada de derivadas e da tabela básica de transformadas inversas.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Para a derivada usamos a propriedade Ly'=sY(s)−y(0), para y temos Ly=Y(s) e para e^-x conhecemos Le^-x=1/(s+1).

Passo 3

Montamos a equação algébrica em s-espaço:
(sY(s)−1)+Y(s)=1s+1

Passo 4

Agora agrupamos Y(s) e isolamos:
(s+1)Y(s)−1=1s+1 implies (s+1)Y(s)=1+1s+1 implies Y(s)=1s+1+1(s+1)^2

Passo 5

Em seguida, usamos a transformada inversa de Laplace. Sabemos que L^-11/(s+1)=e^-x e L^-11/(s+1)^2=x e^-x. Portanto:
y(x)=e^-x+x e^-x=(1+x)e^-x

Resposta

y(x)=(1+x)e^-x

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