Use o teste da comparação no limite para mostrar que a série dada converge ou diverge:
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para usar o teste da comparação no limite para mostrar se essa série converge ou diverge.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- O termo geral é
. - A soma é da forma
(índice vai de até infinito). - Observação importante: para todo
temos e , então para todo . Isso permite usar testes de comparação que exigem termos positivos. - Pergunta a responder: a série converge ou diverge?
Passo 2
Vou apresentar o teste da comparação no limite (versão que usaremos) e explicar por que ele funciona, de forma bem direta.
Enunciado do teste da comparação no limite:
Sejam e
duas sequências. Se o limite
Sejam
existe e
, então as séries
e
são “do mesmo tipo”: ou ambas convergem, ou ambas divergem.
O que isso quer dizer na prática:
- Se eu escolher uma série
cuja convergência eu já conheço (por exemplo, uma p-série), e o limite acima for um número positivo e finito, então concluímos que converge se e somente se converge.
Lembrete sobre p-séries (que usaremos como conhecida):
A p-série converge se, e somente se,
. Em particular,
converge (porque
).
A p-série
Passo 3
Escolha do comparador
.
Observação assintótica (intuição que vira razão exata no cálculo do limite):
Para grande, o numerador
comporta-se como
e o denominador
comporta-se como
. Assim
se comporta como
. Então é natural escolher
Para
porque conhecemos a convergência da p-série com
.
Passo 4
Calcular o limite
.
Escrevemos
Multiplicando por
temos
Agora dividimos numerador e denominador por
para ver o comportamento quando
:
Quando
os termos
,
e
vão todos para
. Portanto
Assim
, que é um número finito e positivo.
Passo 5
Conclusão pelo teste da comparação no limite.
Como
com
, o teste da comparação no limite garante que
e
têm o mesmo comportamento (convergência ou divergência).
Sabemos que
converge (p-série com
). Logo
também converge.
Uma observação final e prática para a prova: sempre verifique que os termos são positivos (aqui
para
), escolha o comparador olhando os termos de maior grau no numerador e denominador, e calcule o limite dividindo por a maior potência de
presente no denominador para simplificar.
Resposta
A série converge.