Use o teste da comparação no limite para mostrar que a série dada converge ou diverge:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k+5}{k^{3}-2 k+3}

Passo 1

O enunciado dá a série \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k+5}{k^{3}-2 k+3} e pede para usar o teste da comparação no limite para mostrar se essa série converge ou diverge.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • O termo geral é a_k=\dfrac{k+5}{k^{3}-2 k+3}.
  • A soma é da forma \sum_{k=1}^{\infty} a_k (índice k vai de 1 até infinito).
  • Observação importante: para todo k\ge 1 temos k+5>0 e k^{3}-2k+3>0, então a_k>0 para todo k\ge1. Isso permite usar testes de comparação que exigem termos positivos.
  • Pergunta a responder: a série converge ou diverge?

Passo 2

Vou apresentar o teste da comparação no limite (versão que usaremos) e explicar por que ele funciona, de forma bem direta.
Enunciado do teste da comparação no limite:
Sejam a_k>0 e b_k>0 duas sequências. Se o limite
L=\lim_{k\to\infty}\frac{a_k}{b_k}
existe e 0<L<\infty, então as séries \sum a_k e \sum b_k são “do mesmo tipo”: ou ambas convergem, ou ambas divergem.
O que isso quer dizer na prática:
  • Se eu escolher uma série b_k cuja convergência eu já conheço (por exemplo, uma p-série), e o limite L acima for um número positivo e finito, então concluímos que \sum a_k converge se e somente se \sum b_k converge.
Lembrete sobre p-séries (que usaremos como conhecida):
A p-série \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^{p}} converge se, e somente se, p>1. Em particular, \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^{2}} converge (porque p=2>1).

Passo 3

Escolha do comparador b_k.
Observação assintótica (intuição que vira razão exata no cálculo do limite):
Para k grande, o numerador k+5 comporta-se como k e o denominador k^{3}-2k+3 comporta-se como k^{3}. Assim a_k se comporta como \dfrac{k}{k^{3}}=\dfrac{1}{k^{2}}. Então é natural escolher
b_k=\frac{1}{k^{2}},
porque conhecemos a convergência da p-série com p=2.

Passo 4

Calcular o limite L=\lim_{k\to\infty}\dfrac{a_k}{b_k}.
Escrevemos
L=\lim_{k\to\infty}\frac{\dfrac{k+5}{k^{3}-2k+3}}{\dfrac{1}{k^{2}}}.
Multiplicando por k^{2} temos
L=\lim_{k\to\infty} \frac{k^{2}(k+5)}{k^{3}-2k+3} =\lim_{k\to\infty}\frac{k^{3}+5k^{2}}{k^{3}-2k+3}.
Agora dividimos numerador e denominador por k^{3} para ver o comportamento quando k\to\infty:
L=\lim_{k\to\infty}\frac{1+\dfrac{5}{k}}{1-\dfrac{2}{k^{2}}+\dfrac{3}{k^{3}}}.
Quando k\to\infty os termos \dfrac{5}{k}, \dfrac{2}{k^{2}} e \dfrac{3}{k^{3}} vão todos para 0. Portanto
L=\frac{1+0}{1-0+0}=1.
Assim L=1, que é um número finito e positivo.

Passo 5

Conclusão pelo teste da comparação no limite.
Como L=1 com 0<L<\infty, o teste da comparação no limite garante que \sum a_k e \sum b_k têm o mesmo comportamento (convergência ou divergência).
Sabemos que \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^{2}} converge (p-série com p=2>1). Logo \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{k+5}{k^{3}-2k+3} também converge.
Uma observação final e prática para a prova: sempre verifique que os termos são positivos (aqui a_k>0 para k\ge1), escolha o comparador olhando os termos de maior grau no numerador e denominador, e calcule o limite dividindo por a maior potência de k presente no denominador para simplificar.

Resposta

A série converge.

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