então
(a) se L>0, L real (finito), ou ambas são convergentes ou ambas são divergentes.
(b) se L=+\infty e se \sum_{k=1}^{\infty} b_{k} for divergente, \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} também será divergente.
(c) se L=0 e se \sum_{k=1}^{\infty} b_{k} for convergente, \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} também será convergente.
Passo 1
O enunciado fornece duas séries de termos positivos, \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} e \sum_{k=1}^{\infty} b_{k}, e a informação sobre o limite
\lim_{k\to\infty}\frac{a_k}{b_k}=L.
As perguntas são exatamente as três afirmações a serem justificadas:
(a) Se L>0 e finito, mostrar que ou ambas as séries convergem ou ambas divergem.
(b) Se L=+\infty e \sum_{k=1}^{\infty} b_{k} diverge, mostrar que \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} diverge.
(c) Se L=0 e \sum_{k=1}^{\infty} b_{k} converge, mostrar que \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} converge.
Informações importantes dadas: todos os termos a_k e b_k são não negativos (positivos), e o limite da razão existe (pode ser 0, finito e positivo, ou +\infty).
Passo 2
Antes de provar as três partes, vamos relembrar e provar de forma curtinha o teste de comparação simples (que usaremos várias vezes). É um resultado básico e muito intuitivo.
Enunciado do teste de comparação simples:
Se existem constantes C>0 e N tais que, para todo k\ge N,
0\le a_k \le C\, b_k,
e se \sum_{k=1}^{\infty} b_k converge, então \sum_{k=1}^{\infty} a_k converge.
Explicação e prova curta (passo a passo):
Como as séries têm termos não negativos, os somatórios parciais são monótonos crescentes.
Seja S_n(a)=\sum_{k=1}^n a_k e S_n(b)=\sum_{k=1}^n b_k.
O lado direito é \sum_{k=1}^{N-1} a_k + C\bigl(S_n(b)-S_{N-1}(b)\bigr). Se \sum b_k converge, então os S_n(b) ficam limitados por alguma constante M. Logo S_n(a) também fica limitado por uma constante (independente de n). Como S_n(a) é monótono e limitado, converge.
Conclusão: a comparação com um múltiplo positivo de uma série convergente garante convergência. Analogamente, se existir m>0 tal que a_k \ge m\, b_k para k grandes e \sum b_k diverge, então \sum a_k diverge (porque os somatórios parciais de a dominam os de b por um fator fixo).
Essa ideia é a principal ferramenta que vamos aplicar no teste da comparação no limite.
Passo 3
Prova da parte (a): caso L>0 e finito.
Intuição: se \dfrac{a_k}{b_k}\to L>0, então para k suficientemente grande a razão fica próxima de L, isto é, fica entre dois múltiplos positivos de 1. Isso permite comparar a_k e b_k por constantes positivas, e aplicar o teste de comparação simples.
Detalhamento:
Como \lim_{k\to\infty}\dfrac{a_k}{b_k}=L com L>0, podemos escolher \varepsilon=\dfrac{L}{2}>0.
Pela definição de limite, existe N tal que para todo k\ge N,
\left|\frac{a_k}{b_k}-L\right|<\frac{L}{2}.
Isso implica duas desigualdades:
-\frac{L}{2} < \frac{a_k}{b_k}-L < \frac{L}{2},
ou seja
\frac{L}{2} < \frac{a_k}{b_k} < \frac{3L}{2}.
Multiplicando por b_k>0, obtemos, para todo k\ge N,
\frac{L}{2}\, b_k \le a_k \le \frac{3L}{2}\, b_k.
Agora aplicamos o teste de comparação simples em ambas as direções:
Se \sum b_k converge, então pela desigualdade superior a_k \le \dfrac{3L}{2} b_k para k\ge N, a série \sum a_k converge.
Se \sum b_k diverge, então pela desigualdade inferior a_k \ge \dfrac{L}{2} b_k para k\ge N, a série \sum a_k também diverge (uma série que domina um múltiplo positivo de uma série divergente também diverge).
Conclusão da parte (a): se L>0 e finito, \sum a_k e \sum b_k têm o mesmo comportamento (ou ambas convergem ou ambas divergem).
Passo 4
Prova da parte (b): caso L=+\infty e \sum b_k diverge.
Intuição: \dfrac{a_k}{b_k}\to+\infty significa que, para k grandes, a_k é muito maior que b_k. Em particular, existe um ponto a partir do qual a_k\ge b_k. Como \sum b_k diverge e a_k domina b_k term a term a partir desse ponto, \sum a_k deve divergir.
Detalhamento:
Como \dfrac{a_k}{b_k}\to+\infty, para a constante M=1 (qualquer M>0 serve) existe N tal que para todo k\ge N,
Como \sum b_k diverge, os somatórios parciais \sum_{k=N}^n b_k tendem a +\infty quando n\to\infty. Portanto \sum_{k=1}^n a_k também tende para +\infty, isto é, \sum a_k diverge.
Conclusão da parte (b): se L=+\infty e \sum b_k diverge, então \sum a_k diverge.
Passo 5
Prova da parte (c): caso L=0 e \sum b_k converge.
Intuição: \dfrac{a_k}{b_k}\to 0 significa que, para k grandes, a_k é muito menor que b_k. Em particular, existe N tal que a_k\le \varepsilon b_k para um \varepsilon pequeno escolhido. Tomando esse \varepsilon fixo (por exemplo \varepsilon=1 ou qualquer outro), a parte “cauda” da série \sum a_k fica limitada por um múltiplo da cauda da série convergente \sum b_k, garantindo convergência.
Detalhamento:
Como \dfrac{a_k}{b_k}\to 0, tome \varepsilon=1 (ou qualquer \varepsilon>0); existe N tal que para todo k\ge N,
\frac{a_k}{b_k} < 1,
isto é
a_k < b_k.
Mais forte: para qualquer fixo \varepsilon>0 existe N tal que para todo k\ge N,
a_k \le \varepsilon\, b_k.
Agora, escrevendo a série \sum a_k como soma das primeiras N-1 parcelas (uma soma finita) mais a cauda,
e como \sum b_k converge, a quantidade à direita é finita. Logo a cauda de \sum a_k é finita, e somando a parte inicial finita obtemos que \sum a_k converge.
Conclusão da parte (c): se L=0 e \sum b_k converge, então \sum a_k converge.
Passo 6
Comentários finais (motivação e uso prático):
O raciocínio principal é que o limite da razão dá comparações assintóticas entre a_k e b_k: se o limite é um número positivo, as duas sequências são comparáveis por constantes; se o limite é zero, a_k é muito menor; se é infinito, a_k é muito maior.
Na prática, para aplicar esse teste numa prova, calcule \lim_{k\to\infty} a_k/b_k. Se for L\in(0,\infty), você já conclui imediatamente que as séries têm o mesmo comportamento; se for 0 ou +\infty, combine com o comportamento conhecido de \sum b_k conforme (b) e (c).
Essas ideias são fáceis de usar sem calculadora e muito poderosas para séries de termos positivos.
Resposta
(a) Se L>0 finito, então \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} e \sum_{k=1}^{\infty} b_{k} ou ambas convergem ou ambas divergem.
(b) Se L=+\infty e \sum_{k=1}^{\infty} b_{k} diverge, então \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} diverge.
(c) Se L=0 e \sum_{k=1}^{\infty} b_{k} converge, então \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} converge.